ИСТИНА

Общая постановка такова. Пусть P(x1,…,xn) — некоммутативный многочлен от матриц порядка n. Каким может быть множество его значений? И. Капланский и И. В. Львов поставили вопрос (см. Днестровская тетрадь, 1.98) о том, что множество значений полилинейного многочлена есть векторное пространство (в этом случае оно совпадает либо с нулем, либо с пространством всех матриц, либо с пространством бесследовых матриц, либо со скалярными матрицами). Решение проблемы Капланского для матриц второго порядка над квадратично замкнутым полем оказалось весьма нетривиальным и глубоким. Вопросы, связанные с уравнениями в матрицах, помимо прикладного значения имеют отношение к конструкции алгебраически замкнутого тела, к теореме о свободе: если добавить новую некоммутативную переменную и соотношение, где та участвует, то это не приведет к появлению новых соотношений. Имеется ряд глубоких проблем, относящихся к множеству значений слов в группе — в частности, в матрицах второго порядка.