ИСТИНА

Основные понятия общей топологии сформировались в рамках развития математического анализа. И сейчас для большинства считающих себя математиками вполне достаточно этого уровня восприятия топологии. Но сформулированные в общем виде эти основные понятия общей топологии начали жить и самостоятельной жизнью, находить приложения вне тех рамок, в которых они возникли. Наиболее блестящим примером такого сорта является создание функционального анализа. Каждый раздел математики определяется набором математических структур, лежащих в его основе. В свою очередь математические структуры распадаются, в основном, на два типа. Это комбинаторно-алгебраические и тополого-геометрические структуры. Алгебраические структуры начали медленно входить в сознание человека с тех незапамятных времен, когда наш предок понял, что один плюс один это уже два. И если геометрические структуры также имеют глубокую историю, то топологические структуры, как уже было сказано, были введены относительно недавно в связи с развитием математического анализа. Можно уверенно сказать, что есть еще много мест в математике, где роль топологических связей еще не осознана, не понята. В докладе будет рассказано, как понимание соответствующей топологической структуры позволило связать в единую цепочку топологические факты теории обыкновенных дифференциальных уравнений и построить на этой основе аксиоматический подход к изложению этой теории, легко покрывающий уравнения с разрывной правой частью и с многозначной правой частью. Это понимание было основано на опыте работы в топологии в рамках школы А.В.Архангельского. Выработанное тогда геометрическое восприятие топологических структур позволило увидеть как из них, как из элементов, складывается описание строения пространств решений. Причем сами соответствующие факты теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в основном, уже были замечены теорией. Однако громоздкость и неполнота их описания мешали их правильному пониманию. А правильное понимание дает основу простого, основанного на прозрачной идее, изложения теории. Уверен, что понимание топологический сути и других разделов математики еще будет определять их развитие. Но люди, которые будут это делать, должны будут знать соответствующие разделы математики и понимать, что такое топология.