ИСТИНА

Дается краткий обзор некоторых математических моделей биологии, биохимии, теории массо- и теплопереноса и гидродинамики, описываемых нелинейными уравнениями в частных производных с запаздыванием. Излагается новый метод построения точных решений таких уравнений. Метод основан на поиске решений в виде конечных сумм, содержащих искомые функции, которые определяются, исходя из дополнительных функциональных связей (представляющих собой разностные или функциональные уравнения) и исходного уравнения с запаздыванием. Для иллюстрации эффективности данного метода рассматриваются реакционно-диффузионные уравнения с запаздыванием, которые содержат одну или две произвольные функции одного аргумента. Получено много новых решений с обобщенным и функциональным разделением переменных, построены также решения, представляющие собой комбинацию решений с обобщенным разделением переменных и решений типа бегущей волны. Описаны решения типа бегущей волны, допускающие представление в элементарных функциях. Приведенные точные решения содержат свободные параметры (в ряде случаев число таких параметров может быть любым) и могут быть использованы для решения некоторых модельных задач и тестирования приближенных аналитических и численных методов решения аналогичных и более сложных нелинейных дифференциально-разностных уравнений с частными производными. Рассмотрен также другой метод построения решений реакционно-диффузионных уравнений с запаздыванием, основанный на использовании инвариантных подпространств соответствующих нелинейных обыкновенных дифференциальных операторов, и приведены некоторые точные решения. Получены условия глобальной нелинейной неустойчивости решений некоторых уравнений и систем реакционно-диффузионных уравнений с запаздыванием. Многие результаты обобщены на случай более сложных нелинейных реакционно-диффузионных уравнений с несколькими временами запаздывания, а также с запаздыванием, зависящим от времени. Рассматриваются также нелинейные уравнения гиперболического типа с запаздыванием и другие нелинейные уравнения в частных производных с запаздыванием.