ИСТИНА

Общая постановка такова. Пусть P(x1, ..., xn) — некоммутативынй многочлен от матриц порядка n. Каким может быть множество его значений? И.Капланский и И.В.Львов поставили вопрос (см. Днестровская тетрадь) о том, что множество значений полилинейного многочлена есть векторное пространство (в этом случае оно совпадает либо с нулем, либо с пространством всех матриц, либо с пространством бесследовых матриц, либо со скалярными матрицами). Решение проблемы Капланского для матриц второго порядка над квадратично замкнутым полем оказалась весьма нетривиальным и глубоким. Вопросы, связанные с уравнениями в матрицах помимо прикладного значения , имеют отношение к конструкции алгебраически замкнутого тела, к теореме о свободе: если добавить новую некоммутативную переменную и соотношение где та участвует, то это не приведет к появлению новых соотношений. Имеется ряд глубоких проблем, относящихся к множеству значений слов в группе — в частности в матицах второго порядка.