ИСТИНА

Проблема Бернсайда и каноническая форма. Рассмотрим $s$- порожденную группу ($s>1$) с тождеством $x^n=1$. Будет ли она конечна? Ответ положителен при $n=2$ (легкое упражнение) при $n=3$ (это уровень сложной задачи студенческой олимпиады), при $n=4$ (проблема стояла около 40 лет) при $n=6$ (проблема стояла около 50 лет). При $n=5$ ничего не известно! В середине 20 века П.С.Новиковым и С.И.Адяном было показано, что если $n$ нечетное число $\ge 661$ то такая группа может быть бесконечна. А.И.Мальцев рассматривал этот результат как основное событие алгебры 20 века (эту точку зрения разделяет, в частности, И.Рипс, чьи исследования были вдохновлены работами П.С.Новикова-С.И.Адяна). Недавно С.И.Адян улучшил оценку до 101. Мы постараемся рассказать о канонической форме в этих группах, введенной Рипсом и, возможно, рассказать о доказательстве теоремы Новикова-Адяна (опустив оценки). Отметим, что перенос техники на группы с неположительной кривизной (энгелевы группы) позволил найти подход к построению геометрической теории колец.