ИСТИНА

Часто для решений задач специального вида требуется рассматривать минимизацию некоторых функционалов в предположении единственности или устойчивости решений такой задачи. Эти функционалы мы будем рассматривать на линейном, вообще говоря, несимметричном нормированном пространстве $ (X,\|\cdot|) $. Возьмем ограниченный снизу функционал $\varphi:X\rightarrow \mathbb{R}$ и непрерывный функционал $\psi:X\rightarrow \mathbb{R}_+$, через $\theta$ обозначим пару $(\psi,\varphi)$. На самом деле, функционал $\varphi$ в большинстве ситуаций достаточно определять на множестве $M$, а затем в случае необходимости продолжать каким-нибудь способом на все пространство $X$. Для произвольного множества $M$ в $X$ через $\varrho_\theta(y,M)$ ($y\in X,$ $M\subset X$) обозначим $\theta$-расстояние до множества $M$, т.е. величину $$\inf\limits_{z\in M}(\psi(z-y)+\varphi(z)).$$ Иногда мы будем рассматривать функцию $\varphi:X\times X\rightarrow \mathbb{R}$ или $\varphi:M\times X\rightarrow \mathbb{R}$ вместо функции $\varphi:X(M)\rightarrow \mathbb{R}$. В этом случае будем $\theta$-расстояние до множества $M $ определять следующим образом: $$\varrho_\theta(y,M):=\inf\limits_{z\in M}(\psi(z-y)+\varphi(z,y)).$$ Аналогично можно рассмотреть {\it левое } $\theta$-расстояние до множества $M $: $$\varrho_\theta^-(y,M):=\inf\limits_{z\in M}(\psi(y-z)+\varphi(z,y)).$$