ИСТИНА

Пусть G — группа, K — ее подгруппа, пусть K∖G/K — пространство двойных классов смежности. Оказывается, что для «бесконечномерных групп» G это фактор-пространство часто обладает естественным ассоциативным умножением. Естественность, например, означает, что для любого унитарного представления группы G в пространстве K-неподвижных векторов действует полугруппа двойных классов (первый такой пример был обнаружен Исмагиловым в 1960гг.). Это бывает, в частности, для бесконечномерных групп матриц (над вещественным, конечным или p-адическим полем), для симметрических групп. Эти полугруппы удается явно описывать, и это приводит, с одной стороны, к неожиданным алгебраическим структурам, а с другой — к явным описаниям фактор-пространств на комбинаторном или геометрическом языке, причем эти описания работают и в конечномерной ситуации. Цель лекций — явные описания инвариантов и мультипликативных структур (унитарные представления будут присутствовать лишь в качестве необходимого фона). В частности, предполагается обсудить такие примеры: G — произведение нескольких бесконечных симметрических групп, K — диагональная подгруппа (или меньшая симметрическая подгруппа в диагонали). G — бесконечномерная унитарная группа, K — ортогональная подгруппа меньшего размера.