ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
|
ИПМех РАН |
||
Методика асимптотического осреднения была развита для трехмерных уравнений в частных производных с быстро осциллирующими коэффициентами. В основном она применялась в первом приближении и использовалась в основном для вычисления эффективных свойств. Затем она была модифицирована для тонких тел (однородных или неоднородных, с ровными лицевыми поверхностями или нет), описываемых трехмерной теорией упругости. Методика осреднения в таком случае также понижает размерность задачи, т.е. сводит трехмерную краевую задачу к некоторой двумерной. В данной работе рассматриваются два относительно новых применения методики осреднения: 1) к задаче получения уравнений сильно ортотропных пластин, 2) к задаче получения осредненных уравнений метаматериалов. В первом случае используется три приближения метода, во втором два. Приводится обоснование применения метода к задаче с двумя малыми параметрами в случае сильно ортотропной пластины. Кроме толщины малым параметром является отношение поперечных модулей упругости к модулям в плане пластины. Показано, что сильная ортотропия приводит к увеличению толщины эквивалентной пластины и изменению жесткостей. Первое асимптотическое приближение дает классическую теорию Кирхгофа, а третье приближение совпадает с теорией Амбарцумяна (Редди). Рассмотрение цилиндрического изгиба дает возможность найти решения в рамках классических теорий пластин в виде формул, так же как и три приближения асимптотической теории, что удобно для сравнения. Асимптотический анализ не связан с какими-либо гипотезами и приводит к последовательности двумерных задач в области пластины и одномерных локальных задач в поперечном направлении. Три асимптотических приближения не заменяют классические теории пластин, но сравнение представляется интересным для сильно ортотропных пластин. В частности, сравнение распределения напряжений в плане пластины и в поперечном направлении может оказаться полезным при построении конечных элементов для однородных и слоистых пластин. Численное сравнение с классическими теориями пластин проведено для полимерно-волокнистых композитов и для резинокордного слоя. Последний пример наиболее интересен, поскольку распределение нормальных напряжений в плане существенно отличается от линейного, что предполагается в теориях Кирхгофа и Рейсснера. Показано, что четвертое асимптотическое приближение нельзя построить таким же методом, как первые три. Также получены два приближения для функционально-градиентного материала. Проведено сравнение напряжений в однородной и неоднородной пластинах. Для однородной пластины три приближения (для функционально-градиентной – два) получены в виде формул. Проведена аналогия осреднения пластин и получением асимптотическим методом градиентной теории упругости. Показано, что, вообще говоря, при трехмерном описании резинокордного слоя следует использовать моментную теорию упругости взамен классической. Иллюстрация дана на примере сильного деформирования пневматической шины. Также рассмотрена связь поворота и растяжения, описываемая в литературе по метаматериалам. Показано, что в отличие от пластин, свойство связанности может проявляться только при локальном воздействии. Теоретический вывод подтвержден конечно-элементными расчетами.