ИСТИНА

Пусть G — связная алгебраическая группа, определённая над полем вещественных чисел R. Множество её комплексных точек G(C) есть связная комплексная группа Ли, а множество вещественных точек G(R) — вещественная группа Ли, но уже не обязательно связная: в качестве контрпримера достаточно взять GL_n(R). Оказывается, что группа компонент связности группы Ли G(R) всегда будет элементарной абелевой 2-группой. Этот результат был впервые получен Х. Мацумото в 1964 г. для полупростых алгебраических групп. Обобщая и уточняя теорему Мацумото, мы явно вычислим группу компонент для произвольной (не обязательно линейной) связной алгебраической группы, основываясь на точной последовательности вещественных когомологий Галуа для универсального накрытия группы Ли G(C). Ответ выглядит особенно наглядно в случаях, когда G — линейная алгебраическая группа или абелево многообразие.