ИСТИНА

Установлено, что линейная система n дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, допускающая первый интеграл в виде невырожденной квадратичной формы, приводится к канонической системе уравнений Гамильтона [1]. В частности, n четно, фазовый поток сохраняет стандартную меру; если индекс инерции i- квадратичного интеграла нечетен, то нулевое равновесие неустойчиво и т. д. Пусть u степень неустойчивости (количество собственных значений в правой комплексной полуплоскости) и i+положительный индекс квадратичного интеграла (i- + i+ = n). Тогда u ⩽ min(i⩽-, i+). Равновесие такой линейной системы устойчиво тогда и только тогда, когда она допускает положительно определенный квадратичный интеграл. Если спектр линейной системы простой, то предъявляются в явной форме n/2 независимых квадратичных интегралов (одной и той же сигнатуры), находящихся попарно в инволюции [2]. Спектральные характеристики линейной системы выражаются через свойства изотропного конуса – поверхности в Rn, где одновременно обращаются в нуль n/2 инволютивных квадратичных интегралов. Вообще, вычисление спектра сводится к изучению топологии пересечения квадрик и операции интегрирования. Все эти результаты переносятся на линейные преобразования с квадратичным инвариантом, а также на линейные системы в бесконечномерных гильбертовых пространствах [3]. В качестве основных примеров рассматриваются колебания упругой среды, статистическое уравнение Лиувилля, уравнения Максвелла и Шредингера.