ИСТИНА

Многие процессы в неоднородных средах описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами (исходные уравнения). Такие уравнения широко применяются в различных приложениях. Они описывают установившиеся динамические процессы теплопроводности и диффузии, динамические явления в механике жидкости и газа, продольные колебания неоднородных стержней с переменным поперечным сечением, процессы в электродинамике и квантовой механике. Многие методы приближенного решения нелинейных задач также сводятся к решению линейных уравнений с переменными коэффициентами. Решениями некоторых таких уравнений являются специальные функции. Однако в большинстве случаев приходится прибегать либо к численным методам, либо к различным приближенным способам. В этом докладе рассматриваются самосопряжённые обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. В случае произвольной зависимости коэффициентов от координаты получена интегральная формула, по которой общее решение исходного уравнения выражается через его фундаментальную функцию и общее решение сопутствующего уравнения (уравнение с постоянными коэффициентами). Для решения исходного фундаментального уравнения предложено три способа. Первый способ основан на методе возмущений. Во втором способе для нахождения фундаментальной функции получено интегральное уравнение типа Вольтерра, которое решается методом последовательных приближений. Третий способ --- метод структурных функций, для которых из интегральной формулы получена рекуррентная система дифференциальных уравнений. Особо выделяются уравнения с периодическими коэффициентами. Излагается метод Бахвалова–Победри (МБП).