ИСТИНА

Пусть $\{Z_n\}_{n\ge 0}$ - ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона с с иммиграцией в одну частицу. Положим $$ Z_0 = 0,\quad Z_{n} = \sum_{j=1}^{1+Z_{n-1}}X_{n,j},\quad n\in\mathbb{N}. $$ Случайные величины $X_{i,j}$ являются независимыми и одинаково распределенными и принимают целые неотрицательные значения. Положим $$ S_0 = 0,\quad S_n = \sum_{i=1}^{n} Z_i$$. Получена точная асимптотика вероятностей больших уклонений для $S_n$ в локальной форме. В докритическом случае (${\bf E}X_{1,1}<1$) при небольших дополнительных предположениях получена локальная центральная предельная теорема для $S_n$.