ИСТИНА

Предлагается метод редукции нелинейных задач со свободной границей к линейным для решений нелинейной системы уравнений мелкой воды в одно– или двумерной области. Предполагается, что амплитуда решений достаточно мала (характеризуется параметром ε) и что задающая глубину бассейна гладкая функция (x1, x2) такова, что ∇D ̸= 0 на береговой линии Γ = {x : D = 0}. Асимптотическим решением системы называется гладко зависящая от ε тройка (область, возвышение свободной поверхности, скорость), такая, что сумма возвышения свободной поверхности и глубины положительна внутри области и равна нулю на ее границе, а сами функции, задающие возвышение свободной поверхности и скорость, являются гладкими в этой области и удовлетворяют исходной нелинейной системе всюду в области с точностью до некоторой степени ε. Для построения асимптотических решений задачи для нелинейной системы уравнений мелкой воды предлагается замена переменных (типа упрощенного преобразования Карриера–Гринспана), зависящая от самого неизвестного решения и преобразующая область, в которой последнее определено, в независящую от решения невозмущенную область, и затем полученная нелинейная система решается стандартными методами теории возмущений. В качестве нулевого приближения, определяющего старший член асимптотики, возникает линейная гиперболическая система с вырождением на границе области. В докладе будут даны точные конструктивные формулировки этого и связанных с ним других полезных подходов. утверждений и описаны связи с имеющимися в литературе результатами, а также приведены примеры, в том числе для волн цунами. Также будет проведено сравнение полученных решений с результатами лабораторного эксперимента. Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект № 21-71-30011). https://vzms.kmm-vsu.ru/files/vzms_2024.pdf