ИСТИНА

Рассмотрим следующую задачу аппроксимации функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений. Пусть L– это эллиптический дифференциальный оператор второго порядка на плоскости с постоянными комплексными коэффициентами, а X - это компакт в C. Требуется найти необходимые и достаточные условия на X, при которых всякую функцию f, непрерывную на X и удовлетворяющую на внутренности X уравнению Lf=0, можно равномерно на X приблизить многочленами P с комплексными коэффициентами от двух вещественных переменных, удовлетворяющих условию LP=0 (такие многочлены называются L-аналитическими). В 2002–2003 гг. А.Б. Зайцев получил критерий приближаемости в этой задаче в случае, когда X является компактом Каратеодори. Этот критерий формулируется в терминах L-специальных областей (свойство области быть L-специальной — это аналитическая характеристика, которая естественно возникла в связи с обсуждаемой задачей). Однако вплоть до настоящего момента свойства L-специальных областей изучены слабо. Известно, что если L является сильно эллиптическим, то L-специальных областей не существует. Если же L не является сильно эллиптическими, то, вплоть до настоящего момента, известны лишь отдельные примеры L-специальных областей (это эллипсы, параметры которых специальным образом зависят от данного оператора), а также получен ряд частных результатов о том, какие области не могут быть L-специальными. Известна следующая гипотеза, которая уже проверена для достаточно широкого класса областей: среди областей, ограниченных алгебраическими кривыми порядка больше двух, L-специальных областей для не сильно эллиптических операторов L нет. Планируется обсудить эту гипотезу и привести ряд связанных с ней результатов.