ИСТИНА

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ С ФАЗОВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ. Терновский В.В.1, Хапаева Т.М.1 ,Хапаев М. М.2 1) МГУ, ВМК,каф.выч.методов, e-mail: vladimir@chatroulette.com 2) МГУ, ВМК,каф.общей математики Во второй половине XX века интенсивно развивались два научных направления: оптимальное управление (ОУ) и некорректные задачи. Академик А.Н. Тихонов показал, что эти области прикладной математики пересекаются. Действительно, задачи ОУ являются некорректно поставленными [1]. Если изучать задачу ОУ в рамках принципа максимума Л.С.Понтрягина (ПМ), то можно решить множество актуальных задач. Однако ПМ ничего не говорит о режимах особого управления, которые возникают в реальных задачах. Кроме того, входные данные задач ОУ в реальных приложениях заданы неточно, что требует развитие численных методов решения. Необходимо создать универсальный алгоритм, который позволил бы решать прикладные задачи ОУ с учетом некорректности, c приближенными данными и режимами особого управления. По нашему мнению, этим запросам отвечает вариационный подход в задачах ОУ. Однако имеется принципиальное противоречие в регуляризирующих методах решения задач ОУ. Так как задача некорректная, необходимо применять специальные алгоритмы решения таких задач, которые с успехом используются для поиска гладких решений, в то время как в задаче ОУ ищется разрывное решение (например, в релейных устройствах). Применение стабилизатора и построение сглаживающего функционала для минимизации в классе разрывных решений, является допустимым, но малопродуктивным, так как регуляризирующий множитель имеет порядок ошибки округления. Необходимо «угадывать» разрывные решения в сглаженных кривых. Говорить о сходимости минимизирующей последовательности разрывных управлений в какой-либо разумной метрике также не приходится, хотя задача ОУ имеет решение. Ключом к разрешению трудностей оказалось использование подвижной сетки (по времени). Если некорректная задача исследуется стандартными вариационными методами без регуляризации, такое решение обычно состоит из гладкой кривой и выбросов большой амплитуды высокой частоты. Если ввести дополнительные переменные, означающие длину временных сегментов и продолжить процесс минимизации, может оказаться, что суммарная длина сегментов с выбросами управления будет в пределах ошибки округлений. Эта гипотеза подтверждена и реализована на примере задачи быстродействия с вязким трением. Численное решение задач ОУ трудоемко из-за некорректности. Построение негладких функций управления требует введения подвижной неравномерной сетки, расположение узлов которой определяется в результате решения задачи быстродействия. Это добавляет еще одну размерность в задаче и увеличивает время вычислений. С другой стороны, предложенный подход позволяет добиться более высокой точности(машинной) попадания в финальное условие, чем при использовании только тихоновского стабилизатора. Литература 1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач // М.: Физматлит - 1979.