ИСТИНА

Найдено нетривиальное обобщение теоремы Якоби [1] об огибающей однопараметрического семейства кривых, которые являются оптимальными решениями классической задачи оптимального управления. В работе речь идет о том, как правильно разгибать многомерное многообразие, вложенное в риманово пространство, на множество касающихся его оболочек. Оказывается, что имеется много различных естественных способов такого разгибания. Каждый из них определяется своим конкретным полем геодезических на многообразии. Начиная с линий уровня поля, эти геодезические продолжаются геодезическими объемлющего многообразия. В результате получается аналог понятия эволюты и эвольвенты, где вместо длины дуги огибающей возникают сохраняющиеся в процессе огибания интегральные инварианты соответствующей гамильтоновой системы. Эта конструкция дает, в частности, множество различных полей решения задачи об обходе препятствия. Эйлеровыми эластиками [2] называются кривые, которые минимизируют интеграл от квадрата кривизны кривой. Для этой задачи найдено явное аналитическое решение уравнения Риккати, коэффициентами которого служат эллиптические функции. Полученное решение дало возможность доказать новое достаточное условие оптимальности для эйлеровых эластик. Многомерным обобщением эйлеровых эластик служит задача об упругих оболочках. Ранее осн овноевнимание уделялось оболочкам, которые минимизируют интеграл от квадрата средней кривизны. Помимо вопросов, связанных с теорией упругости, такие оболочки естественно изучать с точки зрения теории минимальных многообразий, которые определяются тем, ч то их средняя кривизна равна нулю. Этой задаче и ее многомерным общениям на гармонические поверхности посвящено огромное количество работ (Р.Брайан, К.Уленбек, Ф.Гриффитс и др.). Широкую известность получила гипотеза Виллмора о торических минимальных оболочках. Несмотря на усилия крупнейших математиков, она оставалась недоказанной около 50 лет и была доказана только совсем недавно, в 2012 году, молодыми Бразильскими математиками Маркесом и Неве, за что им была присуждена премия Рамануджана. Однако оболочки, минимизирующие интеграл от квадрата Гауссовой кривизны, оставались неисследованными. Они важны с точки зрения теории упругости, когда модуль упругости на растяжение существенно больше, чем модуль упругости на изгиб. В докладе по- лучено точное решение задачи минимизации интеграла от квадрата Гауссовой кривизны в классе оболочек, являющихся поверхностями вращения.