ИСТИНА

Классическое понятие цикла в многообразии (или даже в произвольном топологическом пространстве) восходит к работам А. Пуанкаре. Сначала Пуанкаре не совсем строго определил цикл как подмногообразие без края. Позже в процессе формализации определения гомологий сформировалось определение цикла как суммы сингулярных симплексов, граница которой равна нулю. Первоначальное определение Пуанкаре также нашло себе применение при развитии теории бордизмов. Естественным образом возник вопрос о том, как соотносятся между собой эти два определения цикла. Этот вопрос был чётко сформулирован Н. Стинродом в конце 1940-х годов и в настоящее время известен как проблема Стинрода о реализации циклов. Ключевые результаты по проблеме реализации циклов были получены Р. Томом, С.П. Новиковым, Дж. Милнором, В.М. Бухштабером, Д. Сулливаном. Наряду с вопросом Стинрода о том, какие классы гомологий можно реализовать образами фундаментальных циклов гладких многообразий, возникает ещё один очень важный вопрос: какие многообразия нужны для того, чтобы образами их фундаментальных циклов можно было реализовать (возможно, с некоторой кратностью) любой класс гомологий. Эта задача тесно связана с восходящей к работам Дж. Милнора, У. Тёрстона и М. Громова задачей о так называемом отношении доминирования для многообразий. Говорят, что ориентированное замкнутое многообразие M доминирует ориентированное замкнутое многообразие N той же размерности, если M может быть отображено на N с ненулевой степенью. Дж. Карлсону и Д. Толедо принадлежит вопрос о нахождении в каждой размерности n класса многообразий, максимального по отношению к отношению доминирования, то есть такого, что любое n-мерное многообразие доминируется некоторым многообразием из этого класса. Несколько лет назад докладчиком был дан следующий ответ на этот вопрос: в каждой размерности было указано одно многообразие, всевозможные конечнолистные накрытия которого образуют искомый класс.