ИСТИНА

В настоящее время трудно говорить о том, что создана сильно развитая теория бесконечномерных комплексных многообразий. Поэтому важно иметь набор различных примеров таких многообразий. Одним из таких примеров является универсальное пространство Тейхмюллера и в нашем докладе мы расскажем о главных комплексно-геометрических свойствах этого замечательного бесконечномерного многообразия. Универсальное пространство Тейхмюллера $\mathcal T$ состоит из нормализованных квазисиммтеричных гомеоморфизмов единичной окружности $S^1$, т.е. сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов $S^1$, продолжающихся до квазиконформных отображений единичного круга $\Delta$ и оставляющих неподвижными три точки на $S^1$. Это комплексное банахово многообразие с комплексной структурой, индуцируемой с помощью вложения Берса многообразия $\mathcal T$ в комплексное банахово пространство голоморфных квадратичных дифференциалов в круге. Наименование $\mathcal T$ объясняется тем фактом, что все классические пространства Тейхмюллера $T(G)$, ассоциируемые с компактными римановыми поверхностями, содержатся в $\mathcal T$ в виде комплексных подпространств. Другое важное подпространство в $\mathcal T$ есть пространство $\mathcal S$ нормализованных и сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов $S^1$. Пространство $\mathcal S$ является кэлеровым многообразием Фреше, наделенным совместимыми симплектической и комплексной структурами. Мы строим грассманову реализацию многообразия $\mathcal T$, вкладывая его в грассманово многобразие гильбертова пространства, совпадающего с соболевским пространством $V=H_0^{1/2}(S^1,\mathbb R)$ полудифференцируемых функций на окружности. При таком вложении группа $\text{QS}(S^1)$ квазисимметричных гомеоморфизмов окружности $S^1$ реализуется в виде подгруппы симплектической группы $\text{Sp}(V)$. Оно также задает вложение $\mathcal T$ в пространство комплексных структур на $V$, соместимых с симплектической структурой. Последнее пространство можно рассматривать как бесконечномерный диск Зигеля. Узбекско--израильская конференция по современным проблемам математики и физики, 6-10 октября, Национальный университет Узбекистана и Холонский технологический институт, Ташкент, Узбекистан.