ИСТИНА

Действительное банахово пространство X таково, что для любых трех точек множество точек, ближайших к ним по сумме расстояний, – множество точек Штейнера – непусто. В пространстве X^3, в котором в качестве нормы элемента выбрана сумма норм его компонент в исходном пространстве X, рассматривается отображение Штейнера трех точек St_3, сопоставляющее набору из любых трех точек множество их точек Штейнера. По результату Кахана, в евклидовой плоскости отображение St_3 липшицево. Приведен результат, утверждающий, что для любого строго выпуклого гладкого двумерного пространства отображение Штейнера трех точек липшицево и существуют пространства со сколь угодной большой константой Липшица для отображения St_3. Утверждается также существование строго выпуклых негладких двумерных пространств как с нелипшицевым, так и с липшицевым отображением St_3. Приведен результат, что в пространствах размерности 3 строгая выпуклость и гладкость недостаточна для липшицевости отображения Штейнера трех точек.