Описание:В этом курсе лекций сначала рассматриваются: метрики на множествах, метрические пространства, их подпространства, их примеры и их изометрические и непрерывные отображения, определяемые при помощи последовательностей ε,δ и шаровых окрестностей. Затем вводится понятие открытых подмножеств метрического пространства; топология, порождённая метрикой и характеризация непрерывности отображения метрического пространства в метрическое при помощи (открытых) окрестностей и открытых множеств. Вводятся замкнутые множества, рассматриваются их свойства и даётся характеризация непрерывности отображений метрических пространств при помощи их замкнутых подмножеств. Вводятся понятия расстояния от точки до множества и (при помощи шаровых окрестностей, окрестностей и расстояний от точки до множества) понятие точки прикосновения множества в метрическом пространстве, понятие замыкания подмножества метрического пространства, рассматриваются свойства замыканий множеств. Получается критерий непрерывности отображений метрических пространств при помощи замыканий.
Даются определения: топологии на множестве, топологического пространства и подпространства топологического пространства. Определяется непрерывность отображений метрических пространств при помощи окрестностей, открытых множеств, замкнутых множеств и замыканий. Для метрического пространства X и его метрического подпространства Y, топология на Y, порождённая метрикой подпространства Y, совпадает с топологией подпространства Y топологического пространства X, топология которого порождена метрикой пространством X.
Даются определения баз и предбаз топологических пространств, критерий базы. Задание топологии на множестве при помощи баз и предбаз. Вводится понятие всюду плотного подмножества пространства, в частности, метрического пространства. Устанавливается, что метрическое пространство обладает счётной базой тогда и только тогда, когда оно сепарабельно.
Определяется связность топологического пространства, свойства связности.
Рассматривается понятие компактности топологических пространств, устанавливается, что в случае метрических пространств компактность совпадает со счётной компактностью и секвенциальной компактностью. Рассматриваются аксиомы отделимости, в частности, хаусдорфовость, нормальность и тихоновость.