|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИПМех РАН |
||
Интегрируемые системы статистической механикиучебный курс
- Автор: Талалаев Д.В.
- Год создания: 2020
- Описание: Статистическая механика возникла на стыке 19-го и 20-го веков, как область физики, позволившая объяснить некоторые фазовые переходы. Однако, в конце 20-го века эта область очень плотно вошла в современную фундаментальную математику. Оказалось, что в виде статистической суммы (производящей функции вероятностей состояний модели) представляются некоторые инварианты узлов, топологические инварианты 3-х мерных многообразий, некоторые полиномиальные инварианты графов и многие другие объекты.Спецкурс в основном направлен на прояснение функториальной природы статистической суммы. Особое внимание будет уделено моделям в старших размерностях, то есть начиная с d=3, или двумерным полностью анизотропным моделям. Мы поговорим об интегрируемости таких моделей, связанной с решениями уравнения тетраэдров, о современной теории электрических сетей, связанной с областью кластерных алгебр. Большое внимание мы уделим инвариантам Татта, потоковому полиному, их связи с моделью Изинга, а также свойству полной положительности, которое имеет очень разнообразные инкарнации: от задачи Люстига, до позитроидов в теории электрических сетей.Спецкурс в основном ориентирован на студентов старших курсов, но для его понимания достаточно курса алгебры и теории вероятностей в объеме первых двух лет обучения на мехмате.Краткий план курса:1. Краткое введение в парадигму статистической физики. Производящие функции комбинаторных инвариантов.2. Модель Изинга. Регулярные решетки, дуальность, пределы. Описание критического поведения в двумерном случае. Модель на произвольном графе.3. Полином Татта, потоковый полином, модель Поттса.4. Старшие уравнения n-симплексов.5. Трехмерная модель Изинга.6. Электрические сети. Матричная теорема о деревьях, дискретный гармонический анализ, задачи о случайном блуждании.7. Критические электрические сети.8. Введение в кластерные алгебры. Основные примеры: грассманианы, пространства Тейхмюллера.9. Электрические сети, как деформация кластерной алгебры в задаче Люстига.10. Полностью положительная математика. Введение, положительность унипотентной группы.11. Положительность в теории электрических сетей. Обобщенная положительность.
- Добавил в систему: Талалаев Дмитрий Валерьевич
Преподавание курса
- 20 февраля 2020 - 21 мая 2020 Талалаев Дмитрий Валерьевич
- МГУ имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет
- факультативная, лекции, 36 часов
- Автор: Талалаев Д.В.