|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИПМех РАН |
||
Алгебра и аналитическая геометрия для отделения бакалавров (ФИИТ) факультета ВМиК МГУучебный курс
- Авторы: Ильин В.А., Ким Г.Д., Крицков Л.В.
- Год создания: 2002
- Организация: МГУ имени М.В. Ломоносова
- Описание: В основу данного курса заложена традиция объединения линейной алгебры и аналитической геометрии, придающая, с одной стороны, большую (геометрическую) наглядность алгебраическим понятиям, а, с другой, делающая более компактными геометрические исследования с помощью используемого алгебраического формализма. Первая часть курса (1 семестр) начинается с изучения основ матричной алгебры и теории определителей произвольного порядка. Вводимое после этого понятие абстрактного вещественного линейного пространства как обобщение геометрических пространств позволяет далее рассмотреть понятие ранга матрицы с двух точек зрения: алгебраической – как характеристику множества миноров матрицы – и «геометрической» – как свойство линейной зависимости ее строк и столбцов. Построенная теория матриц и определителей позволяет исчерпывающе построить теорию систем линейных алгебраических уравнений. Наработанный алгебраический формализм позволяет далее изучить основные объекты аналитической геометрии. Вводятся понятия аффинной и декартовой системы координат, рассматриваются линейные операции над векторами, деление отрезка в данном отношении, операции скалярного, векторного и смешанного произведений, изучаются линей-ные преобразования системы координат. Строиться полная теория прямой на плоскости, плоскости в пространстве и прямой в пространстве. Понятие барицентрических координат применяется для описания элементарных выпуклых множеств в пространстве – отрезков, треугольников и тетраэдров. Завершается первая часть курса изучением основных линий второго порядка – эллипса, гиперболы и параболы, проводится классификация линий второго порядка на плоскости. Вторая часть курса (2 семестр) начинается с построения поля комплексных чисел. На основе уже знакомого понятия вещественного линейного пространства строится теория линейных пространств над произвольным числовым полем. Рассматриваются понятия линейной зависимости, базиса, размерности линейного пространства и линейного подпространства, операции суммы и пересечения подпространств, понятие прямой суммы. Вводится понятие линейного аффинного многообразия. Как естественное обобщение множества геометрических векторов с операцией скалярного произведения рассматриваются евклидовы и унитарные пространства, понятие ортогональности и матрица Грама, задача о перпендикуляре, а также другие метрические задачи. Далее строится теория линейных операторов в линейном пространстве. Изучаются матрицы линейных операторов в различных базисах, ядро и образ оператора, линейные операции и операция умножения операторов, понятие обратного оператора. Вводится понятие собственных векторов и собственных значений линейного оператора и изучаются их свойства, условия существования. Отдельное внимание уделено операторам простой структуры (диагонализуемым операторам). Изучается понятие инвариантного подпространства и его влияние на структуру матрицы линейного оператора. В частности, доказывается теорема Шура о треугольной форме матрицы линейного оператора. Для линейных операторов, действующих в евклидовых и унитарных пространствах, вводится понятие сопряженного оператора, изучается его матрица и основные свойства. Со структурной точки зрения рассматриваются нормальные, унитарные и ортогональные, самосопряженные, знакоопределенные операторы, обсуждается алгоритм построения квадратного корня из оператора. Наконец, строится теория билинейных и квадратичных форм в вещественном линейном пространстве. Рассматривается метод Лагранжа и метод вращений приведения квадратичной формы к каноническому виду. Обосновывается закон инерции квадратичных форм и критерий Сильвестра их положительной или отрицательной определенности. Как приложение теоретических результатов теории операторов и теории квадратичных форм рассматриваются экстремальные свойства собственных значений самосопряженного линейного оператора, построение нормального решения и псевдорешения линейного операторного уравнения (метод наименьших квадратов).
- Добавил в систему: Крицков Леонид Владимирович
Преподавание курса
- 1 сентября 2002 - 30 июня 2014 Крицков Леонид Владимирович
- МГУ имени М.В. Ломоносова, Факультет вычислительной математики и кибернетики
- обязательная, базовой части, лекции, 108 часов
- Авторы: Ильин В.А., Ким Г.Д., Крицков Л.В.