|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИПМех РАН |
||
Асимптотика собственных значений псевдодифференциального оператора в модели Хоофтадипломная работа (Специалист)
- Научный руководитель: Шейпак И.А.
- Автор: Давтян А.А.
- Тип: Специалист
- Организация, в которой проходила защита: МГУ имени М.В. Ломоносова
- Год защиты: 2020
- Аннотация: В выпускной квалификационной работе А.\,А.\,Давтяна изучаются спектральные свойства оператора $Q$, возникающего при описании связанных состояний пары кварк--антикварк (модель Хоофта). Задача на собственные значения этого оператора выглядит следующим образом \begin{gather} \label{g:1} Qu:=-\text { p.v. } \int_{0}^{1} \frac{u(y)}{(x-y)^{2}} d y+\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{1-x}\right) u(x)=\lambda u(x), 0<x<1\\ \label{g:2} u(0)=u(1)=0, \end{gather} с областью определения $\mathcal D(Q)= \mathring W^1_2[0;1]$. Этот оператор возникает как расширение по Фридрихсу минимального симметрического оператора, заданного выражением \eqref{g:1} и областью определения $C^\infty_0[0;1]$. Получены следующие результаты: 1) Рассмотрен минимальный симметрический оператор, порожденный выражением \eqref{g:1} и областью определения $C^\infty_0[0;1]$. Построено расширение по Фридрихсу указанного оператора. 2) Показано, что в случае невозмущенного оператора ($a=b=0$) функции $\sin(\pi n x)$ ведут себя почти как собственные функции оператора $Q$ в том смысле, что $\|Q\sin\pi nx-\pi^2 n\sin\pi nx\|_{L_2}=o(n)$. 3) Показано, что для невозмущенного оператора для всякого $\varepsilon\in(0;1/2)$ на отрезке $[\varepsilon;1-\varepsilon]$ выполнена равномерная сходимость для образов синусов: $\sup_{[\varepsilon,1-\varepsilon]}\left|\frac{Q\sin\pi nx-\mu_n \sin\pi n x}{\lambda_n}\right| \rightarrow 0$, где $\mu_n$ --- собственные значения функций $\sin\pi nx$ на всей оси. 4) Для собственных функций $f_n$ получено представление $f_n=\sin\pi nx+g_n$, где для функций $g_n$ в норме $L_2[0;1]$ справедлива оценка $\|g_n\|=O(\sqrt{N})$. Есть основания полагать, что эту оценку можно улучшить. Эти результаты позволяют новым методом получить асимптотику собственных значений невозмущенного оператора: $\lambda_n\sim \pi^2 n$, $n\to\infty$.
- Добавил в систему: Шейпак Игорь Анатольевич