Организация, в которой проходила защита:Институт языкознания РАН,
Механико-математический ф-т МГУ
Год защиты:2018
Аннотация:Исследуется задача приближения заданной непрерывной функции нескольких переменных с помощью линейных и аффинных функционалов. Данная задача применяется при линеаризации дифференциальных уравнений, она также тесно связана с проблемой Улама-Хайерса об устойчивости аффинных отображений.
Результаты в этой области есть, в частности у Ю.А.Брудного. Приближение осуществляется в равномерной метрике на некотором компакте в $\mathbf R^n$, что естественным образом обобщает
классические проблемы о наилучшем приближении полиномами в равномерной метрике на отрезке. Однако, в случае нескольких переменных, уже для полиномов первой степени (аффинных функционалов) задача весьма нетривиальна.
В дипломной работе обобщены теоремы Чебышева и Валле-Пуссена об альтернансе на аффинные приближения функций нескольких переменных. Альтернансом в данном случае является множество из $n+2$ точек, обладающих определеннымм геометрическими свойствами. Этот теоретический результат применен для разработки ``многомерного алгоритма Ремеза'' для эффективного вычисления точек альтернарнса и приближающего функционала. Причем, показано, что прямое обобщение содержит факторизацию по размерности задачи, что часто ведет к большим вычислительным затратам. Поэтому в работе приведен новый альтернативный алгоритм, который имеет лучшую сходимость. Соответствующие численные
результаты и их анализ также приводятся в работе.