|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИПМех РАН |
||
О приближении отрезка лемнискатами многочлена Чебышевакурсовая работа (Специалист)
- Научный руководитель: Косухин О.Н.
- Автор: Арзуманова А.В.
- Тип: Специалист
- Организация, в которой проходила защита: МГУ имени М.В. Ломоносова
- Кафедра: Кафедра математического анализа
- Год защиты: 2020
- Курс: 5
- Аннотация: Пусть $A$ и $B$ --- компакты на комплексной плоскости ${\bf C}$. Напомним, что хаусдорфовым расстоянием или метрикой между ними называется величина $\rho_H(A,B):=\inf \{\varepsilon\}$, где инфимум берется по всем таким $\varepsilon>0$, что множества $A$ и $B$ находятся в евклидовых $\varepsilon$-окрестностях друг друга. В $1897$ году Д. Гильберт доказал, что любую замкнутую кривую $\Gamma$ из ${\bf C}$ можно с любой точностью так приблизить связной лемнискатой $L(P_n,C):=\{z:~|P_n(z)|=C\}$ ($C=\rm const$) некоторого комплексного многочлена $P_n$ в хаусдорфовой метрике, что сама эта кривая лежит в замыкании ограниченной этой лемнискатой области. Эта теорема является качественной и не позволяет получить количественные оценки такого приближения. Курсовая работа A.\,В.\,Арзумановой, как следует из её названия, посвящена количественным оценкам уклонений $\rho_H(L(T_n,1),\,[-1;\,1])$ лемнискат $L(T_n,1)$ многочленов Чебышёва первого рода $T_n(z)$ от отрезка $[-1;\,1]$ в зависимости от степени $n$ этого многочлена. В частности, она доказала асимптотическое равенство $$\rho_H(L(T_n,1),\,[-1;\,1])=\frac{\ln\left(1+\sqrt{2}\right)}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right), \quad n\to\infty.$$ Доказательство основного результата курсовой работы верно и написано понятным и строим языком. Работа снабжена поясняющими иллюстрациями. Она представляет интерес для специалистов в области комплексного анализа и теории приближений.
- Добавил в систему: Косухин Олег Николаевич