Аннотация:Удобной моделью для исследования некоторых биологических процессов
формообразования, таких как бластуляция, гаструляция и др., может являться сфера или ее
проекция в двумерном пространстве - окружность.
Процессы формообразования происходят за счет того, что каждая клетка обладает
способностью двигаться в направлении, которое зависит от положения небольшого числа
своих соседей. То есть функция перемещения клетки зависит от небольшого числа
переменных - координат её ближайших соседей и её самой. Таким образом, задачей,
связанной с моделированием таких процессов, является исследование локальных
однородных правил движения отдельных элементов, образующих ткани данной
геометрической формы.
Одним из важных и в то же время простых биологических процессов
формообразования является образование бластулы. Имеется 2 математические модели
образования бластулы: более адекватная, но более сложная для изучения - задача
сферообразования - и более простая, зато легче поддающаяся математическому анализу -
задача окруживания.
В задаче сферообразования бластула представляется как двумерная сеть на двумерной
сфере. Страны этой сети интерпретируются как биологические клетки. Под воздействием
локальных однородных правил происходит перемещение вершин (узлов) этой сети.
Задача окруживания - это упрощенная, по сравнениею с задачей сферообразования,
модель бластулы. В этой модели бластула представляется как замкнутая ломаная с 𝑛
вершинами на плоскости или граф. Ребра интерпретируются как биологические клетки, а
вершины - контакты между соседними клетками. Ребра ломаной могут пересекаться, т. е.
ломаная может быть самопересекающейся. Модель описывается некоторой динамической
системой с непрерывным временем.
В данной работе изучается задача окруживания. В ней рассматриваются некоторые
геометрические правила, в ходе которых происходит окруживание, особое внимание уделено
правилу усреднения углов и правилу усреднения косинусов. Целью данной работы было
изучить действие этих правил на ломаные, найти закономерности, связанные с этими
правилами, произвести моделирование на компьютере ранее полученных результатов,
связанных с задачей окруживания.