ИСТИНА

1. Получено достаточное условие асимптотической эквивалентности максимумов в общей схеме максимумов сумм независимых одинаково распределенных случайных величин с тяжелыми хвостами и продемонстрировано его применение к максимумам частичных сумм Эрдеша-Реньи, полей дробового шума и суммарных активностей в моделях информационных сетей. Для различных моделей получены достаточные условия в виде ограничений сверху на хвостовой индекс распределений слагаемых. 2. Доказаны новые предельные теоремы об экстремумах признаков частиц в ветвящихся процессах при отказе от классических предположений. Для бессмертных надкритических процессов получен и исследован широкий класс предельных распределений максимумов признаков частиц. Для различных ветвящихся процессов изучено влияние зависимости признаков частиц, связанной с их родством, на асимптотическое поведение максимумов. В случае нескольких признаков получены многомерные предельные распределения и изучены их копулы. 3. Введены два новых экстремальных индекса в схеме серий для систем зависимых случайных величин, взятых в случайном количестве, изучены их свойства, взаимосвязи и связь с классическим экстремальным индексом. Вычислены индексы для суммарных активностей в моделях информационных сетей, признаков частиц в ветвящихся процессах, а также для моделей с копулами и пороговых моделей. 4. Введены максимальные ветвящиеся процессы с одним и несколькими ти-пами частиц (с произвольными неотрицательными значениями), представляющие собой экстремальные аналоги ветвящихся процессов Гальтона-Ватсона и Иржи-ны, доказаны эргодические и предельные теоремы для них, рассмотрены прило-жения в теории массового обслуживания.