ИСТИНА

Во введении приведен обзор литературы по теме диссертации, излагается краткое содержание работы, сформулированы результаты, которые выносятся на защиту. Первая глава диссертации, состоящая из 3 параграфов, посвящена исследованию разностной схемы Роу, которая широко применяется в мировой вычислительной практике в расчетах газодинамических задач. В первом параграфе рассматривается метод построения разностной схемы Роу, которая принадлежит к классу эйлеровых явных разностных схем сквозного счета годуновского типа и удовлетворяет свойству монотонности, то есть не допускает осцилляций нефизического характера. При построении этой схемы для аппроксимации потоков на вводимой разностной сетке используется решение задачи о распаде произвольного разрыва (Rieman problem). При построении схемы Роу эта задача решается приближенно (Approximate Rieman Solver), что отличает ее от схемы Годунова, где задача о распаде разрыва решается точно, и необходимо решение нелинейных алгебраических уравнений в каждом узле сетки. Во втором параграфе рассматриваются особенности схемы Роу в расчетах задачи об обтекании цилиндрического тела плоскопараллельным потоком газа в декартовой системе координат в двумерной постановке. Приводятся примеры, в которых схема Роу дает в качестве элементов численного решения ударные волны разрежения, присоединенные к неровностям сеточной границы обтекаемого тела, образование которых в газодинамических течениях, как известно из теоретической газовой динамики, противоречит теореме Цемплена. Впервые отмечена возможность качественной зависимости численного решения, полученного по схеме Роу, от выбора пространственной разностной сетки и приведены примеры таких расчетов. В третьем параграфе рассматриваются особенности схемы Роу в расчетах задачи о сверхзвуковом обтекании цилиндрического тела в полярной системе координат, где сеточная граница цилиндрического тела представляется наиболее просто и естественно. Однако, в полярной системе координат проявляется ряд особенностей схемы, связанных с криволинейностью координатной системы, которые приводят к заметным искажениям получаемых численных решений. Вторая глава диссертации, состоящая из десяти параграфов, посвящена построению разностных схем по методу крупных частиц и их исследованию с помощью метода дифференциальных приближений. В первом параграфе описываются известные идеи построения разностных схем по методу крупных частиц, предложенному в работах О.М.Белоцерковского и Ю.М.Давыдова. Суть метода крупных частиц состоит в поэтапной аппроксимации исходной системы уравнений газовой динамики в переменных Эйлера. Пространственная область разбивается разностной сеткой на ячейки. На первом этапе аппроксимируются уравнения движения и энергии с отброшенными конвективными слагаемыми в предположении постоянства плотности газа. Получаются промежуточные значения скорости и энергии. На втором этапе по значениям промежуточной скорости, полученной на первом этапе, определяются массы газа перетекающие через границы ячейки за один шаг по времени. На третьем этапе рассчитывается перераспределение потоков массы импульса и энергии для каждой ячейки на основе аппроксимации соответствующих интегральных уравнений и определяются окончательные значения газодинамических параметров в ячейке на следующий момент времени. Во втором параграфе рассматривается одномерная разностная схема метода крупных частиц, предложенная в работах О.М.Белоцерковского и Ю.М.Давыдова. Особенностью данной схемы является неустойчивая аппроксимация уравнений первого этапа с использованием центральной разностной производной. Неустойчивость аппроксимации уравнений первого этапа проявляется в виде немонотонности (осцилляций нефизического характера) соответствующих численных решений и эффективное использование этой схемы возможно только в случае явного введения членов искусственной вязкости. В этом параграфе строятся разностные схемы, обладающие свойством монотонности, в которых аппроксимация уравнений первого этапа изменена. В третьем параграфе исследуется консервативность построенных разностных схем. Уточняется аппроксимация уравнений первого этапа и строится консервативная разностная схема метода крупных частиц, обладающая свойством монотонности. В четвертом параграфе с помощью пакета аналитических вычислений REDUCE строятся П-формы первых дифференциальных приближений разностных схем, рассматриваемых в работе. В явном виде находятся коэффициенты схемной вязкости и дисперсии. На основе анализа дифференциальных приближений сформулированы условия устойчивости построенных разностных схем. Проводится анализ внутренних диссипативных и дисперсионных факторов, влияющих на свойства схем. В пятом параграфе проводятся тестовые расчеты модельной задачи о распаде произвольного разрыва и сравнение на их основе построенных схем метода крупных частиц со схемой Роу. Подтверждаются выводы о свойствах разностных схем, сделанные на основе анализа дифференциальных приближений. В частности, приводятся расчеты, подтверждающие точность и неулучшаемость оценки устойчивости построенных схем, а также монотонность построенной консервативной схемы. В шестом параграфе предлагается способ автоматического выбора шага по времени в консервативной монотонной схеме метода крупных частиц на основе оценки устойчивости. Проводится сравнение данной схемы с автоматическим выбором шага по времени и схемы Роу. Приводится пример начальных данных задачи о распаде произвольного разрыва, при которых схема Роу дает в качестве элемента численного решения ударную волну разрежения, а схема метода крупных частиц с автоматическим выбором шага по времени не дает такой особенности. В седьмом параграфе результаты исследований, проведенные для одномерного случая, обобщаются на случай двух пространственных переменных декартовой системы координат и строится двумерная консервативная монотонная разностная схема метода крупных частиц с автоматическим выбором шага по времени. Данная схема позволяет проводить однородные вычисления при наличии в расчетной области обтекаемых тел (с заданными на их границе условиями непротекания) достаточно произвольной формы. В восьмом параграфе проводятся тестовые расчеты задачи об обтекании плоскопараллельным потоком газа цилиндрического тела по построенной двумерной схеме крупных частиц с автоматическим выбором шага по времени. Результаты расчетов сравниваются с результатами, полученными в расчетах по схеме Роу. Сравнение показало, что построенная схема не обладает негативными особенностями, отмеченными для схемы Роу, такими, как качественная зависимость численного решения от выбора пространственной сетки и образование ударных волн разрежения в численных решениях. В девятом параграфе строится разностная схема метода крупных частиц для случая полярной системы координат. Рассматриваются особенности построения схемы, определяемые криволинейностью системы координат. Предлагается вариант схемы с автоматическим выбором шага по времени и искусственной вязкости, наиболее эффективный для случая полярной системы координат. В десятом параграфе проводятся тестовые расчеты задачи об обтекании плоскопараллельным потоком газа цилиндрического тела по построенной схеме крупных частиц с автоматическим выбором шага по времени и искусственной вязкости в полярной геометрии. На основе этих расчетов проводится сравнение схемы крупных частиц и схемы Роу для случая полярной системы координат. Сравнение показало, что результаты, получаемые по схеме метода крупных частиц при расчетах задач такого класса, являются более предпочтительными, особенно на грубых пространственных сетках. Третья глава диссертации, состоящая из десяти параграфов, посвящена построению и исследованию математической модели равновесных конфигураций идеального политропного газа, вращающегося вблизи гравитирующего центра. В первом параграфе рассматривается конфигурация политропного газа, вращающаяся вокруг гравитирующего центра. Газ описывается системой уравнений гидростатического равновесия в переменных Эйлера в цилиндрической системе координат. Форма газовой конфигурации, то есть область в цилиндрической системе координат, заполненная газом, заранее не известна и подлежит определению. В предположении цилиндрической симметрии течения получена система уравнений, описывающая газовую конфигурацию в этом приближении. Во втором параграфе рассматривается общее решение полученной системы. Показано, что оно полностью определяется заданием закона распределения скорости вращения газа и произвольной константой. Выделен случай изотермического течения. В третьем параграфе доказываются теоремы о существовании и единственности решения системы уравнений, описывающей стационарную газовую конфигурацию. Получен общий вид границы газовой конфигурации и пространственной области, где решение существует в зависимости от закона распределения скорости вращения. Доказана теорема о том, что заданием формы границы газовой конфигурации (или, что тоже самое, пространственной области заполненной газом), удовлетворяющей сформулированному в работе условию гладкости, а в остальном произвольной, однозначно определяется решение системы уравнений и газодинамические параметры конфигурации в целом. В четвертом параграфе рассматривается частный вид решений, которые представляют интерес при изучении дискообразных (по форме напоминающих тор) газовых конфигураций, моделирующих аккреционные диски вблизи гравитирующих объектов. В пятом параграфе исследуются возможные стационарные конфигурации газа, в которых скорость распределена по закону твердотельного вращения. Показано, что при таком распределении скорости вращения газа в рамках построенной модели не существует собственно дискообразных конфигураций. В шестом параграфе исследуются возможные стационарные конфигурации газа с Кеплеровским законом распределения скорости вращения газа. Показано, что при таком распределении скорости также не существует дискообразных стационарных конфигураций. В седьмом параграфе приводится пример закона распределения скорости, при котором возможны дискообразные конфигурации по форме близкие к тору. В восьмом параграфе приводится пример газовой конфигурации, граница которой задается явно и тем самым, как было показано в работе, определяется однозначно. При этом закон распределения скорости уже не является монотонной функцией радиуса. В девятом параграфе изучается вопрос об использовании рассматриваемых в работе трехмерных стационарных конфигураций газа, вращающихся вокруг гравитирующего центра, при математическом моделировании процессов в аккреционных дисках в двумерном приближении. Показано, что интегральные характеристики газодинамических параметров трехмерных конфигураций удовлетворяют двумерной системе уравнений газовой динамики, в которой выражение для силы гравитации несколько отличается от обычного вида. Однако для конфигураций, рассматриваемых в работе, это отличие пренебрежимо мало. В десятом параграфе проведены численные расчеты, подтверждающие стационарность двумерных газовых конфигураций, полученных на основе трехмерных решений. Расчеты показали, что параметры двумерной конфигурации существенно не изменяются в течение времени порядка полного оборота конфигурации вокруг гравитирующего центра. В четвертой главе диссертации проводится математическое моделирование процессов в аккреционном диске двойной звездной системы. Для обеспечения большей достоверности результатов расчеты проводятся как по схеме метода крупных частиц, построенной в работе, так и по схеме Роу. Полученные результаты сопоставляются с результатами, полученными в работе K.Sawada, H.Spruit и др.9, в которой проводились расчеты процессов в аккреционных дисках с использованием разностной схемы Роу. В первом параграфе описывается задача об аккреционном диске двойной звездной системы в двумерной постановке. Рассматривается двойная звездная система, заданная массами своих компонент и расстоянием между ними. Скорость вращения такой системы определяется третьим законом Кеплера, а координаты центра масс - соотношением равенства моментов. Вводилась полярная неинерциальная система координат с центром в первичной компоненте, вращающаяся вместе с двойной системой. Расчетная область представляла собой кольцо с центром в начале координат. В такой системе координат на частицу газа действуют силы гравитационного взаимодействия, центробежная сила и сила Кориолиса. Самогравитация газа не учитывалась. В качестве начального состояния аккреционного диска выбирается одна из двумерных стационарных конфигураций, полученная в предыдущей главе, что отличает рассматриваемую постановку задачи от постановок аналогичных задач в работах других авторов. Достоинством данной постановки задачи является то, что аккреционный диск локализуется как самостоятельное образование, и появляется возможность исследовать влияние на его эволюцию отдельных факторов, таких, как гравитационное взаимодействие со вторичной компонентой и вращение двойной системы. Во втором параграфе описываются результаты численных расчетов описанной выше задачи. Выделяются три основные стадии развития процессов в аккреционном диске. На первой стадии процесса исходная стационарная конфигурация под воздействием гравитации вторичной компоненты и вращения системы начинает разрушаться, возникает волна разрежения, а потом и радиальная ударная волна, двигающаяся к внешней границе области. За фронтом радиальной ударной волны зарождается новая квазиравновесная конфигурация с радиальной составляющей скорости близкой к нулю. На следующей стадии, когда радиальная волна покидает границы расчетной области, устанавливается структура, содержащая спиральные ударные волны, которая качественно не изменяется в течение времени порядка полного оборота системы. На третьей стадии спиральные ударные волны видоизменяются и их фронты начинают двигаться против направления вращения частиц газа. Показано, что спиральные ударные волны приводят к потере газом углового момента на всех стадиях процесса. Проведено сравнение результатов расчетов описанной задачи, полученных по схеме крупных частиц, построенной в работе, и схеме Роу. Сравнение показало, что оба метода дают весьма сходные результаты, что может служить дополнительным аргументом в пользу достоверности полученных результатов. В третьем параграфе исследуется влияние на характер процессов в диске вариантов выбора граничных условий. Расчеты показали, что течение процессов в диске на основных стадиях, описанных выше, не имеет существенной качественной зависимости от вида граничных условий. В четвертом параграфе проводилось исследование влияния параметров системы на характер процессов в диске. В частности, в случае, когда масса вторичной компоненты на порядок меньше массы первичной компоненты, не наблюдалось образования спиральных ударных волн, а потеря веществом углового момент осуществлялась исключительно за счет приливных эффектов. Необходимо отметить, что в расчетах, проведенных K.Sawada, H.Spruit и др.9 спиральные волны проявлялись и в этом случае. Проведено также исследование влияния на процессы в диске вариантов выбора исходной равновесной конфигурации. В приложении рассматривается методика построения линий уровня функции двух переменных, заданной аналитически или таблично в декартовой или полярной системе координат, за основу которой выбран известный метод рекурсивного спуска по квадродеревьям. Решена задачи идентификации линий уровня. Усовершенствованный алгоритм реализован в виде пакета прикладных программ, который использовался при представлении численных результатов, полученных в работе.