Аналитические методы теории риска, основанные на смешанных вероятностных моделяхНИР

Analytic methods of risk theory based on mixed probability models

Соисполнители НИР

МГУ имени М.В.Ломоносова Координатор

Источник финансирования НИР

грант РНФ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 27 апреля 2018 г.-31 декабря 2018 г. Аналитические методы теории риска, основанные на смешанных вероятностных моделях
Результаты этапа: Работы, намеченные на 2018 год, выполнены в полном объеме. В частности: В рамках направления 1 получены следующие результаты. В. Ю. Королевым и А. И. Зейфманом разработаны некоторые критерии сравнения качества статистических оценок, построенных по выборкам случайного объема, с оценками, построенными по выборкам неслучайного объема. В качестве такого критерия предложено использовать дефект статистической оценки (обычно определяемый по отношению к «оптимальной» оценке), определяемый как число наблюдений, которые надо добавить к имеющейся выборке, чтобы рассматриваемая оценка была бы столь же эффективна, как и оптимальная. Дефект оценки может быть наглядной характеристикой возможной потери эффективности, когда выборка со случайным объемом (то есть такая, в которой число наблюдений заранее не известно и само является наблюдением) ошибочно интерпретируется как выборка с неслучайным объемом, в которой фактически неизвестный объем выборки заменен его наблюдаемым значением. Показано, что если асимптотическое распределение объема выборки, нормализованного его математическим ожиданием, не является вырожденным, то дефект оценки (статистики), построенной по выборке случайного объема, по отношению к оценке, построенной по выборке, объем которой неслучаен и равен математическому ожиданию случайного объема исходной выборки, растет почти линейно с ростом указанного математического ожидания. Доказано, что нетривиальное поведение дефекта (его асимптотическая ограниченность) возможно, только если случайный объем выборки является асимптотически вырожденным. Это утверждение является иллюстрацией того, что при невырожденном предельном распределении объема выборки асимптотическое распределение оценки имеет «тяжелые хвосты». Подробно рассмотрены случаи, когда объемы выборки имеют пуассоновское и биномиальное распределения. В. Ю. Королевым и А. К. Горшениным изучено асимптотическое поведение экстремальных порядковых статистик, построенных по выборкам случайного объема, порожденного дважды стохастическим пуассоновским процессом (процессом Кокса) и имеющего смешанное пуассоновское распределение. Доказаны некоторые неравенства, связывающие распределения и моменты экстремальных порядковых статистик с аналогичными характеристиками управляющего процесса (накопленной интенсивности). Доказаны предельные теоремы для распределений макс-обобщенных процессов Кокса, описаны предельные теоремы. Рассмотрен важный частный случай, когда объем выборки имеет отрицательное биномиальное распределение, соответствующего ситуации, в которой процесс Кокса управляется гамма-процессом Леви. Этот случай дает асимптотическое обоснование возникновения темперированных предельных распределений. В рамках направления 2 получены следующие результаты. В. Ю. Королевым и А. К. Горшениным рассмотрен важный пример предельной теоремы для экстремальных порядковых статистик, построенных по выборкам случайного объема, имеющего отрицательное биномиальное распределение. Данный пример соответствует ситуации, в которой процесс Кокса управляется гамма-процессом Леви. Этот случай дает асимптотическое обоснование возникновения темперированных предельных распределений. Исследована возможность практического применения этих результатов к вероятностному моделированию статистических закономерностей в данных об атмосферных осадках. В частности, предложены асимптотические аппроксимации для распределения максимального суточного объема осадков за дождливый период. Эта аппроксимация имеет вид масштабной смеси распределения Фреше, в которой в качестве смешивающего выступает гамма-распределение. Показано, что указанная смесь совпадает с темперированным распределением Снедекора-Фишера – распределением положительной степени случайной величины, имеющей классическое распределение Снедекора-Фишера. Аналогичные распределения получены для m-х экстремумов и выборочных квантилей. Доказательство соответствующих результатов основано на представлении отрицательного биномиального распределения в виде смешанного геометрического и смешанного пуассоновского распределений и предельных теоремах для экстремальных порядковых статистик, построенных по выборкам случайного объема, имеющего смешанное пуассоновское распределение. Описаны некоторые аналитические свойства полученных предельных распределений. В частности, показано, что при некоторых условиях предельное распределение является смешанным показательным и, следовательно, безгранично делимым. Показано, что при тех же условиях предельное распределение может быть представлено в виде масштабной смеси устойчивых или вейбулловских или паретовских или полунормальных распределений. Соответствующие мультипликативные представления случайных величин с указанными распределениями могут быть использованы для их компьютерной симуляции. Результаты статистической подгонки предложенных моделей к реальным данным свидетельствует об их отличном согласии с реальными данными. Также показано, что в указанной ситуации асимптотическим распределением выборочных квантилей является распределение Стьюдента – частный случай обобщенных дисперсионных гамма-распределений. Предложены некоторые методы статистического оценивания параметров предложенных моделей. Полученные представления асимптотических распределений в виде смесей дают лучшее представление о природе байесовских вероятностных моделей. М. Васильевой, А. К. Горшениным и В. Ю. Королевым показано, что флуктуации продолжительностей дождливых и сухих периодов, измеряемых в сутках, могут с очень высокой степенью согласия быть описаны отрицательным биномиальным распределением. Для многих географических точек как в России, так и за ее пределами вычислены оценки числовых характеристик указанного распределения. Отмечена зависимость параметра формы отрицательного биномиального распределения от высоты измерительной станции над уровнем моря и рельефа соответствующей местности (для равнинных станций параметр формы меньше единицы, для горных – больше единицы). Подобная информация может существенно улучшить качество интеллектуального анализа данных, например, с применением машинного обучения, поскольку позволяет ввести дополнительные обучающие признаки без увеличения объема исходных данных. В. Ю. Королевым и А. И. Зейфманом рассмотрен широкий класс гибких дискретных моделей – так называемые обобщенные отрицательные биномиальные распределения. Эти распределения являются смешанными пуассоновскими законами, в которых смешивающие распределения принадлежат классу обобщенных гамма-распределений (GG-распределений). Класс GG-распределений был введен E W. Stacy как единое семейство, включающее одновременно гамма- и вейбулловские распределения. Такие распределения весьма многообещающи при статистическом описании закономерностей, наблюдаемых во многих реальных явлениях. Изучены аналитические свойства обобщенных отрицательных биномиальных распределений. Показано, что GG-распределение является смешанным показательным тогда и только тогда, когда параметр формы и показатель степени в экспоненте не превосходят единицу. Смешивающее распределение выписано в явном виде. Показано, что оно является масштабной смесью односторонних строго устойчивых законов, сосредоточенных на положительной полуоси. В качестве следствия получено представление обобщенного отрицательного биномиального распределения в виде смешанного геометрического распределения. Рассмотрена соответствующая схема испытаний Бернулли со случайной вероятностью успеха. В рамках такой схемы доказан «случайный» аналог теоремы Пуассона, устанавливающий сходимость смешанных биномиальных распределений к смешанному пуассоновскому распределению. Доказаны предельные теоремы для сумм случайного числа независимых случайных величин, в которых число слагаемых имеет обобщенное отрицательное биномиальное распределение. Рассмотрены ситуации, в которых распределения слагаемых могут иметь как легкие, так и тяжелые хвосты. Описан класс предельных законов. Он оказывается довольно широким и включает обобщенные дисперсионные гамма-распределения. Для предельных законов получены разнообразные представления в виде смесей нормальных распределений или распределений Лапласа, Миттаг-Леффлера или Линника. В рамках направления 3 получены следующие результаты. И. Г. Шевцовой получены новые оценки для характеристических функций. Доказано точное моментное неравенство, связывающее квадратичный хвост распределения с квадратичным хвостом его сверточной симметризации, оптимальное при каждом значении параметра усечения. Найдены верхние оценки асимптотически правильных констант в обобщенных неравенствах типа Эсеена и Розовского, устанавливающих оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для сумм независимых случайных величин в терминах усеченных алгебраических третьих моментов и квадратичных хвостов, где обобщения были получены за счет введения параметра баланса и параметризации границы усечения. В рамках направления 4 получены следующие результаты. В.Ю. Королевым, А. Ю. Корчагиным, А.А. Щербининой и В.Ю. Евстефеевой предложен и исследован комбинированный сеточный метод статистического оценивания параметров распределений Линника и Миттаг-Леффлера. Особенностью задачи является отсутствие явных представлений плотностей указанных распределений в терминах элементарных функций, что делает неприменимым метод максимального правдоподобия. Более того, в этой ситуации «чистый» метод моментов также неприменим из-за того, что указанные распределения имеют тяжелые хвосты. Предлагаемый в данной статье сеточный метод основан на возможности представления распределений Линника и Миттаг-Леффлера соответственно в виде масштабной смеси распределения Лапласа и смешанного показательного распределения. В обоих случаях смешивающее распределение одно и то же и соответствует отношению двух независимых односторонних строго устойчивых случайных величин с одним и тем же характеристическим показателем. Оказалось, что плотность этого распределения может быть выражена в терминах элементарных функций и имеет довольно простой явный вид. На первом этапе предлагаемого метода с помощью версии ЕМ-алгоритма ищется дискретная аппроксимация указанного смешивающего распределения. На втором этапе путем минимизации невязки между полученной дискретной оценкой и теоретической смешивающей плотностью по параметру находится оценка параметра анализируемого распределения. Приведены результаты имитационного моделирования, иллюстрирующие сходимость метода. Также приведены результаты сравнения описываемого метода с оценками, полученными методом логарифмических моментов. Показано, что для некоторых диапазонов значений неизвестных параметров двухэтапный сеточный метод дает более точные оценки. Полученные результаты являются базой для дальнейших исследований с целью разработки двухэтапных сеточных методов с адаптивным выбором сетки и исследованием их свойств. В рамках направления 5 получены следующие результаты. Ю. С. Хохловым выделен класс многомерных распределений, обладающий свойством многомерного правильного изменения. Изучены свойства распределений из этого класса при суммировании независимых одинаково распределенных случайных векторов с таким распределений, в том числе и для случайных сумм. Эти результаты применены для описания некоторого обобщения областей нормального притяжения операторно-устойчивых распределений. Предложен некоторый вариант многомерной модели коллективного риска с зависимыми компонентами, в которой величина выплат имеет многомерное распределение описанного выше типа. Для такой модели получена асимптотика вероятности разорения при большой величине начального капитала. Разработана некоторая общая методика оценки вклада отдельной компоненты в общий риск портфеля. В рамках некоторого класса многомерных распределений, а именно эллиптически контурированных устойчивых распределений, эта методика позволяет получить точную асимптотику вклада отдельной компоненты в случае больших общих потерь. Свойства выбранного класса распределений были подробно исследованы. В рамках направления 6 получены следующие результаты. О. В.Шестаковым рассмотрена модель со случайным числом вейвлет-коэффициентов функции сигнала, загрязненных белым гауссовым шумом. Исследовались функции риска, основанные на вероятностях ошибок вычисления вейвлет-коэффициентов и среднеквадратичной ошибке. Были получены асимптотические оценки данных функций риска, зависящие от распределения объема выборки и степени гладкости функции, описывающей сигнал. Также получены выражения для вычисления оптимальных пороговых значений. Показано, что асимптотическое поведение функций риска и оптимальных пороговых значений во многом определяется поведением функции распределения объема выборки в окрестности нуля и бесконечности. Показано, что при случайном объеме выборки функции риска могут стремиться к нулю значительно медленнее, чем при неслучайном объеме. Если же предельное распределение нормированного объема выборки вырождено, то оценки функций риска совпадают с оценками при неслучайном объеме выборки. Помимо перечисленных выше запланированных работ, с целью определения направления перспективных разработок, были проведены разведочные исследования в области отыскания удобных условий и оценок скорости сходимости в терминах интенсивностей потоков информативных событий, а также нахождение предельных «выходных» характеристик таких потоков с учетом неоднородности (нестационарности) входных и выходных характеристик при исследовании сезонных факторов (А. И. Зейфман, В. Ю.Королев). Проведенные исследования показали возможность и целесообразность решения целого ряда аналитических задач в указанной области. Эти исследования будут продолжены на следующих этапах реализации проекта.
2 1 января 2019 г.-31 декабря 2019 г. Аналитические методы теории риска, основанные на смешанных вероятностных моделях
Результаты этапа: Работы, намеченные на 2019 год, выполнены в полном объеме. Рассмотрим проведенные исследования и полученные в их рамках результаты в соответствии с планом на 2019 год. I. В рамках задачи «Построение удобных оценок скорости сходимости распределений порядковых статистик, построенных по выборкам, объем которых имеет биномиальное распределение. Распространение этих оценок скорости сходимости на ситуацию, в которой объем выборки является значением дважды стохастического пуассоновского процесса. Формулирование полученных результатов в терминах интенсивностей потоков информативных событий. Вычисление конкретных числовых значений всех абсолютных констант»: Рассмотрены экстремальные порядковые статистики, построенные по выборкам случайного объема, который имеет смешанное пуассоновское распределение, в частности, порождается дважды стохастическим пуассоновским процессом (процессом Кокса). Доказаны некоторые неравенства, связывающие распределения и моменты макс-обобщенных процессов Кокса с аналогичными характеристиками управляющего процесса (т.е. смешивающего распределения). Доказаны предельные теоремы для распределений макс-обобщенных процессов Кокса и описаны предельные законы. Показано, что предельные распределения макс-обобщенных пуассоновских процессов являются степенными смесями распределений экстремальных значений. Описаны условия (в том числе необходимые и достаточные) сходимости распределений макс-обобщенных процессов Кокса к каждому из возможных типов распределений. Рассмотрен важный частный случай, в котором процесс Кокса имеет отрицательное биномиальное распределение, что соответствует управляющему гамма-процессу Леви. Этот частный случай важен для понимания формирования темперированных асимптотических моделей. Эти результаты приведены в работах [Korolev V.Yu., Sokolov I.A., Gorshenin A.K. Max-compound Cox processes. I // Journal of Mathematical Sciences, 2019. Vol. 237. № 6. P. 789–803; Korolev V.Yu., Sokolov I.A., Gorshenin A.K. Max-compound Cox processes. II // Journal of Mathematical Sciences, 2020. P. 39–50]. В работе [Korolev V.Yu., Sokolov I.A., Gorshenin A.K. Max-compound Cox processes. III // arXiv:1912.02237 [math.PR], 4 Dec 2019, 15 p.] (журнальная публикация предполагается в 2020 г.) предложен новый метод получения оценок скорости сходимости распределений экстремальных порядковых статистик, построенных по выборкам случайного объема, который имеет смешанное пуассоновское распределение. Базой для новых оценок являются оценки скорости сходимости распределений экстремальных порядковых статистик в выборках неслучайного объема. Фактически, доказываются специальные теоремы переноса для оценок скорости сходимости. Сначала классические оценки распространяются на ситуацию, в которой объем выборки имеет биномиальное распределение. Такой случай оказывается эквивалентен классической ситуации, в которых элементы выборки имеют вид специальной смеси. Затем с помощью специального предельного перехода полученные оценки переносятся на случай, когда объем выборки имеет пуассоновское распределение. Наконец, оценки, справедливые для пуассоновского объема выборки, переносятся на случай, в котором объем выборки имеет смешанное пуассоновское распределение, в частности, на макс-обобщенные процессы Кокса. Полученная цепочка теорем приводит к заключению, что случай, в котором объем выборки имеет распределение Пуассона, является в определенном смысле идеальным, так как в этом случае скорость сходимости распределений экстремальных порядковых статистик выше, чем в классической ситуации, в которой неслучайный объем выборки совпадает с параметром распределения Пуассона случайного объема выборки. Также оценки скорости сходимости макс-обобщенных процессов Кокса получены и прямым методом. II. В рамках задачи «Исследование эффекта асимптотического утяжеления хвоста распределения случайной суммы при увеличении числа слагаемых. Доказательство предпредельных теорем о сближении распределений сумм случайного числа независимых случайных величин с дискретными смесями нормальных законов. Исследование асимптотического поведения хвостов сопровождающих дискретных смесей нормальных законов в предпредельных теоремах. Построение оценок для условных функций концентрации»: В работе [Korolev V., Zeifman A. From Asymptotic Normality to Heavy-Tailedness via Limit Theorems for Random Sums and Statistics with Random Sample Sizes / V. Korolev, A. Kostogryzov (Eds.) Probability. Combinatorics and Control. – London: IntechOpen, 2019. P. 1–23] приводится возможное обоснование возникновения тяжелохвостых моделей, наблюдаемых на практике, вместо ожидаемых в соответствии с классической теорией моделей с легкими хвостами (в частности, нормальных). В качестве основы приводимых аргументов использованы предельные теоремы для сумм случайного числа случайных величин и других статистик, построенных по выборкам случайного объема. В качестве примеров применения общих теорем приведены условия сходимости сумм случайного числа независимых случайных векторов с конечными ковариационными матрицами к многомерным эллиптически контурированным устойчивым законам и многомерным эллиптически контурированным распределениям Линника. Также приведены условия сходимости распределений статистик, считающихся асимптотически нормальными в классической ситуации, к многомерному распределению Стьюдента. В качестве важного частного случая рассмотрены условия сходимости совместных распределений порядковых статистик к смесям многомерных нормальных распределений. В работе [Bening V.E., Korolev V.Yu., Zeifman A.I. Calculation of the deficiency of some statistical estimators constructed from samples with random sizes // Colloquium Mathematicum, 2019. Vol. 157. P. 157–171] понятие дефекта статистической оценки использовано для сравнения качества оценок, построенных по выборкам случайного объема, с качеством аналогичных оценок, построенных по выборкам неслучайного объема. Дефект статистической оценки – число дополнительных наблюдений, нужных, чтобы рассматриваемая оценка по точности сравнялась с оптимальной оценкой – может считаться характеристикой возможной потери точности из-за того, что выборка случайного объема ошибочно трактуется как выборка неслучайного объема, и фактически распределение статистики является условным при условии, что объем выборки принял наблюдаемое значение. Эвристически показано, что если асимптотическое распределение объема выборки, нормализованного своим математическим ожиданием, равным, скажем, n, не является вырожденным, то дефект статистики (оценки), построенной по выборке случайного объема, по отношению к аналогичной статистике, построенной по выборке неслучайного объема, равного n, возрастает почти линейно с ростом n. Нетривиальное асимптотическое поведение дефекта возможно только тогда, когда асимптотическое распределение нормированного объема выборки является вырожденным. В качестве примеров рассмотрены случаи, в которых объем выборки имеет биномиальное распределение, распределение Пуассона и специальное трехточечное распределение. Также приведены некоторые базовые свойства оценок, построенных по выборкам случайного объема. III. В рамках задачи «Построение явных оценок скорости сходимости в предельных теоремах для смешанных пуассоновских случайных сумм, которые в качестве информации о распределении случайных слагаемых используют лишь моменты порядка 2+d с любым сколь угодно малым положительным d»: В монографии [Шевцова И.Г. Оценки точности асимптотических вероятностных моделей. Arxiv preprint submit/2958735] получены оценки скорости сходимости пуассоновских и смешанных пуассоновских случайных сумм к нормальному распределению и к его смесям при минимальных моментных предположениях на распределения случайных слагаемых, которые предполагаются независимыми, одинаково распределенными и имеющими конечные моменты порядка 2+d с некоторым (сколько угодно малым) 0<d<=1. Оценки получены для равномерной метрики. Оценки скорости сходимости пуассоновских случайных сумм получены в разделе 3.4, смешанных пуассоновских случайных сумм – в разделе 3.5. В качестве следствий получены оценки скорости сходимости обратных гамма-пуассоновских случайных сумм к распределению Стьюдента при неограниченном возрастании параметра масштаба смешивающего гамма-распределения и к нормальному распределению при неограниченном возрастании его параметра формы, а также оценки отрицательных биномиальных случайных сумм с параметрами r>0 и 0<p<1 к гамма-смесям нормальных законов (при целом r – к r-кратным сверткам распределений Лапласа) при p->0 и к нормальному распределению – при неограниченном возрастании r. Полученные оценки имеют явный вид и не содержат неизвестных констант, что дает принципиальную возможность их использования на практике. Кроме того, были получены естественные оценки скорости сходимости в теореме Линдеберга в терминах усеченных алгебраических третьих моментов распределений слагаемых и дроби Линдеберга, обобщающие и уточняющее оставшиеся без должного внимания неравенства Эссеена (1969) и Розовского (1974). Эти неравенства, в свою очередь интересны тем, что не зависят от абсолютных усеченных третьих моментов (а только от алгебраических) в отличие от широко известных неравенств Осипова (1966) и Каца-Петрова (1963, 1965). В качестве следствий впервые получены оценки абсолютных констант в классических неравенствах Эссеена и Розовского, при этом найденные значения являются умеренными, что позволяет использовать полученные оценки на практике. Эти результаты опубликованы в статьях [Gabdullin R.A., Makarenko V.A., Shevtsova I.G. A generalization of the Wang-Ahmad inequality // Journal of Mathematical Sciences, 2019, vol. 237, No.5, p.646-651; Gabdullin R.A., Makarenko V.A., Shevtsova I.G. A generalization of the Rozovskii inequality // Journal of Mathematical Sciences, 2019, vol. 237, No.6, p.775-781]. IV. В рамках задачи «В комбинированных методах статистического оценивания параметров тяжелохвостых распределений, допускающих представление в виде смесей нормального, показательного, равномерного распределений или смесей других распределений, обладающих свойством (условной) экстремальности (дифференциальной) энтропии, разработка методов оптимального или адаптивного выбора сетки как в случае легкохвостых, так и тяжелохвостых смешивающих распределений»: В.Ю. Королевым, А.Ю. Корчагиным, М.А. Васильевой, А.А. Щербининой и В.Ю. Евстефеевой продолжены работы по исследованию методов адаптивного выбора сетки в комбинированных методах статистического оценивания параметров тяжелохвостых распределений. На основе результатов предыдущего этапа (см. работу [В.Ю. Королев, Д.В.Фомина, А.А. Щербинина. Комбинированный сеточный метод оценивания параметров распределений Линника и Миттаг-Леффлера // Статистические методы оценивания и проверки гипотез, 2018. Вып. 28. С. 15-34]) на данном этапе исследовались методы выбора сетки в комбинированных методах оценивания параметров обобщенных распределений Линника и обобщенных распределений Миттаг-Леффлера (также см. работы [Korolev V., Zeifman A. From Asymptotic Normality to Heavy-Tailedness via Limit Theorems for Random Sums and Statistics with Random Sample Sizes / V. Korolev, A. Kostogryzov (Eds.) Probability. Combinatorics and Control. – London: IntechOpen, 2019. P. 1–23] и [Korolev V., Zeifman A. Multivariate scale-mixed stable distributions and related limit theorems // arXiv:1912.02108 [math.PR], 3 Dec 2019, 25 p.] (журнальная публикация этой работы предполагается в 2020 г.), в которых показано, что указанные распределения допускают представления в виде смесей распределений, обладающих свойством (условной) экстремальности (дифференциальной) энтропии. Получены перспективные промежуточные результаты. Финализация результатов в этом направлении запланирована на 2020 год, что в полной мере соответствует первоначальному плану исследований, сформулированному в заявке. V. В рамках задачи «Исследование аналитических свойств многомерных процессов Леви, допускающих представление в виде подчиненных процессов, и их взаимных связей»: Многие исследования, проводимые в ходе реализации данного проекта связаны с предельными теоремами для случайных сумм, при этом в большинстве случаев предельное распределение оказывается безгранично делимым. Хорошо известно, что такое распределение однозначно порождает некоторый процесс Леви. Подобное представление является очень полезным и наглядным при изучении свойств таких предельных распределений. Этот метод хорошо зарекомендовал себя в случае одномерных распределений. В проекте изучаются многомерные случайные суммы с многомерными индексами суммирования, которые имеют многомерное геометрическое и многомерное отрицательное биномиальное распределения (см. ниже). В ходе реализации проекта показано, что процессы Леви, соответствующие многомерным предельным распределениям в описанной модели, представимы в виде подчиненных процессов, где в качестве субординатора выступает многомерный процесс Леви, порожденный либо распределением Маршалла-Олкина, либо многомерным аналогом гамма-распределения. Получены результаты о возможности представления процесса Леви, соответствующего предельному распределению, с помощью подчиненных процессов, в которых управляемый (внешний) процесс есть процесс Леви, порожденный эллиптически контурированным многомерным устойчивым распределением, а управляющий процесс есть многомерный субординатор описанного выше вида. Специальный частный случай масштабных смесей многомерных эллиптически контурированных устойчивых распределений рассмотрен в работе [Korolev V., Zeifman A. Multivariate scale-mixed stable distributions and related limit theorems // arXiv:1912.02108 [math.PR], 3 Dec 2019, 25 p.] (журнальная публикация этой работы предполагается в 2020 г., подробнее см. ниже в п. VII). В общем случае описан достаточно широкий класс таких процессов и изучены соотношения, аналогичные мультипликативным соотношениям Золотарева для одномерных устойчивых законов. По результатам этих исследований подготовлена статья Ю.С. Хохлова и В.Ю. Королева, журнальная публикация которой запланирована на 2020 год. Частично эти результаты докладывались на Международной конференции по многомерному статистическому анализу данных [Khokhlov Yu., Korolev V. Multivariate Random Sums: Limit Theorems, Related Distributions and Their Properties // Book of Abstracts of the 18 th Applied Stochastic Models and Data Analysis International Conference with the Demographics 2019, 11-14 June 2019, Florance, Italy. Published by ISAST: International Society for the Advancement of Science and Technology, 2019. P. 110.]. VI. В рамках задачи «Построение многомерных аналогов классических одномерных дискретных распределений, исследование их свойств и взаимосвязей и их применение в задачах имитационного моделирования»: Продолжено начатое ранее исследование многомерных аналогов классических дискретных распределений. Имея в виду их дальнейшее использование при анализе предельных теорем для многомерных случайных сумм особое внимание было уделено многомерному геометрическому и многомерному отрицательному биномиальному распределению. Для многомерного геометрического распределения предложено два разных определения и исследованы их свойства. Показано, что в обоих случаях распределение является безгранично делимым. Это позволяет, имея многомерное геометрическое распределение с некоторым набором параметров, получить многомерное отрицательно биномиальное распределение с достаточно широким и разнообразным набором параметров. Хорошо известно, что одномерное геометрическое распределение при некоторой нормировке и малом параметра успеха в соответствующей схеме Бернулли сходится к показательному распределению. В ходе реализации проекта аналогичный результат получен и для многомерного геометрического распределения. При этом для обоих вариантов определения многомерного геометрического распределения в пределе возникает одно и то же распределение, а именно, распределение Маршалла-Олкина. Это позволяет получить представление предельных распределений для многомерных случайных сумм с многомерным индексом, имеющим геометрическое распределение, в виде многомерных масштабных смесей и получить новые многомерные аналоги распределений Лапласа и Линника (так называемое мультипликативное представление для случайных векторов), используя эллиптически контурированные многомерные устойчивые распределения (также см. работу [Korolev V., Zeifman A. Multivariate scale-mixed stable distributions and related limit theorems // arXiv:1912.02108 [math.PR], 3 Dec 2019, 25 p.], журнальная публикация которой предполагается в 2020 г., подробнее см. п. VII). Аналогичные результаты получены и для многомерных отрицательно биномиальных распределений. В качестве предельных для них получены многомерные аналоги гамма-распределений, свойства которых также детально изучены. Непосредственное вычисление числовых характеристик функций от таких случайных векторов с указанным предельным распределением затруднительно. В таких случаях приходится использовать численные методы, в том числе имитационное моделирование, при котором нужно использовать именно допредельные многомерные распределения. В этом направлении получены предварительные результаты, финализация которых предполагается в 2020 году. В ходе выполнения проекта также рассмотрено еще одно возможное обобщение отрицательных биномиальных распределений. В статье [Korolev V., Zeifman A. Generalized negative binomial distributions as mixed geometric laws and related limit theorems // Lithuanian Mathematical Journal, 2019. Vol. 59. No. 3. P. 366–388] введен и изучен широкий класс дискретных распределений, названный авторами обобщенными отрицательными биномиальными распределениями. Эти распределения введены как смешанные пуассоновские распределения, в которых смешивающими являются обобщенные гамма-распределения. Последние были введены E.W. Stacy в 1962 году как семейство, содержащее одновременно гамма-распределение, показательное и вейбулловское распределения. Обобщенные отрицательные биномиальные распределения хорошо зарекомендовали себя в качестве удобных и адекватных моделей статистических закономерностей, присущих многим массивам дискретных данных. Изучены аналитические свойства обобщенных отрицательных биномиальных распределений. Доказано, что обобщенное гамма-распределение является смешанным показательным распределением тогда и только тогда, когда параметр формы и показатель степени в экспоненте не превосходят единицы. При этом смешивающее распределение выписано в явном виде как масштабная смесь неотрицательного строго устойчивого закона. В качестве следствия этого результата доказаны условия, при которых обобщенное отрицательное биномиальное распределение является смешанным геометрическим. В явном виде в терминах элементарных функций от независимых случайных величин с известными распределениями выписаны представления случайных величин с обобщенными гамма и обобщенными отрицательными биномиальными распределениями. Указанные представления существенно облегчают имитационное моделирование соответствующих случайных величин. Рассмотрена соответствующая схема испытаний Бернулли со случайной вероятностью успеха. Для этой схемы доказан "случайный" аналог теоремы Пуассона, устанавливающий сходимость смешанных биномиальных распределений к смешанным пуассоновским законам. Доказаны предельные теоремы для случайных сумм независимых случайных величин, в которых число слагаемых имеет отрицательное биномиальное распределение, а слагаемые могут иметь как легкие, так и тяжелые хвосты. Показано, что предельными для распределений обобщенных отрицательных биномиальных случайных сумм являются так называемые обобщенные дисперсионные гамма-распределения. Получены различные представления предельных законов в терминах смесей распределений Лапласа, Линника и Миттаг-Леффлера. VII. В рамках задачи «Построение мультипликативных представлений для случайных векторов с многомерными обобщенными распределениями Линника»: В работе [Korolev V., Zeifman A. From Asymptotic Normality to Heavy-Tailedness via Limit Theorems for Random Sums and Statistics with Random Sample Sizes / V. Korolev, A. Kostogryzov (Eds.) Probability. Combinatorics and Control. – London: IntechOpen, 2019. P. 1–23] условия сходимости сумм случайного числа независимых случайных векторов с конечными ковариационными матрицами к многомерным эллиптически контурированным устойчивым законам и многомерным эллиптически контурированным распределениям Линника построены с помощью доказанных в этой же работе мультипликативных представлений случайных векторов с многомерными обобщенными распределениями Линника в виде произведения нормальных векторов и случайной величины с обобщенным распределением Миттаг-Леффлера. В работе [Korolev V., Zeifman A. Multivariate scale-mixed stable distributions and related limit theorems // arXiv:1912.02108 [math.PR], 3 Dec 2019, 25 p.] (журнальная публикация этой работы предполагается в 2020 г.) рассмотрены многомерные распределения вероятностей, которые можно представить в виде масштабных смесей многомерных эллиптически контурированных устойчивых распределений. Показано, что эти распределения образуют особый подкласс масштабных смесей многомерных эллиптически контурированных нормальных распределений. Обсуждены свойства распределений этого класса. Основное внимание уделено представлению случайных векторов с такими распределениями в виде произведений независимых случайных элементов. Прослежена связь сомножителей в этих произведениях с известными распределениями вероятностей. В качестве примеров распределений из класса масштабных смесей многомерных эллиптически контурированных устойчивых распределений подробно рассмотрены многомерные обобщенные распределения Линника. Указана их связь с "обыкновенными" многомерными распределениями Линника, многомерными нормальными распределениями, "обыкновенными" и обобщенными распределениями Миттаг-Леффлера. Доказаны предельные теоремы, устанавливающие необходимые и достаточные условия сходимости распределений случайных последовательностей с независимыми случайными индексами (включая суммы случайного числа случайных векторов и многомерные статистики, построенные по выборкам случайного объема) к масштабным смесям многомерных эллиптически контурированных устойчивых законов. Свойство таких предельных законов быть одновременно масштабными смесями нетривиальных многомерных устойчивых законов и масштабными смесями позволило получить необходимые и достаточные условия сходимости распределений сумм случайного числа случайных векторов как с конечными, так и с бесконечными ковариационными матрицами к многомерному обобщенному распределению Линника. Указанные результаты получены для случая многомерных случайных сумм, в которых индекс суммирования является одномерным. Более общие результаты можно получить в случае, когда и индекс суммирования является случайным вектором. Для этого случая получены некоторые предварительные результаты, которые докладывались на Международной конференции по многомерному статистическому анализу данных [Khokhlov Yu., Korolev V. Multivariate Random Sums: Limit Theorems, Related Distributions and Their Properties // Book of Abstracts of the 18 th Applied Stochastic Models and Data Analysis International Conference with the Demographics 2019, 11-14 June 2019, Florance, Italy. Published by ISAST: International Society for the Advancement of Science and Technology, 2019. P. 110]. Подробное исследование этой модели будет проведено в следующем году. В частности, будут получены многомерные аналоги распределений Миттаг-Леффлера и Вейбулла и исследованы соотношения между ними. VIII. В рамках задачи «Исследование статистических свойств оценок функции риска анализа и обработки сигналов на основе вейвлет-алгоритмов. Доказательство с этой целью предельных теорем, позволяющих строить асимптотические доверительные интервалы для риска при случайном объеме выборке и/или других параметров»: Алгоритмы вейвлет-анализа широко используются в задачах оценивания функции сигнала или изображения по зашумленным данным. Эти алгоритмы использует волны, которые возникают на короткий период времени и быстро затухают. Представление сигнала в виде суммы таких волн дает информацию как о его частотных характеристиках, так и об эволюции этих характеристик во времени. Таким образом, вейвлет-анализ позволяет гораздо более эффективно исследовать нестационарные сигналы и изображения, чем традиционный Фурье-анализ. Анализ погрешностей методов пороговой обработки коэффициентов вейвлет-разложения представляет собой важную практическую задачу, поскольку позволяет оценить качество как самих методов, так и используемого оборудования. Иногда природа данных такова, что регистрация наблюдений производится в случайные моменты времени. Если точки отсчета образуют вариационный ряд, построенный по выборке из равномерного распределения на отрезке регистрации данных, то использование обычных процедур пороговой обработки оказывается адекватным. В ходе исследований доказана сильная состоятельность и асимптотическая нормальность оценки среднеквадратичного риска в предположении о принадлежности функции сигнала к классу Липшица с некоторым показателем. Данные результаты опубликованы в работе [Шестаков О.В. Свойства вейвлет-оценок сигналов, регистрируемых в случайные моменты времени // Информатика и ее применения. 2019. Т. 13. № 2. С. 30–35.]. В некоторых ситуациях объем выборки заранее не известен и моделируется случайной величиной. Такие ситуации могут возникать, например, в случае пропуска данных, ограниченности времени сбора данных при случайных временах регистрации наблюдений или недостатке информации о характеристиках используемого оборудования. В ходе исследований рассматривалась модель со случайным числом наблюдений, содержащих гауссовый шум, и исследовалось поведение функции потерь, основанной на вероятностях ошибок вычисления вейвлет-коэффициентов, при растущем объеме выборки. Получены асимптотические оценки данной функции потерь и выражения для вычисления оптимальных пороговых значений. Результаты опубликованы в работе [Shestakov O.V. Averaged Probability of the Error in Calculating Wavelet Coefficients for the Random Sample Size // Journal Of Mathematical Sciences. 2019. Vol. 237. No. 6. P. 826–830]. Кроме того, в модели со случайным числом наблюдений исследовались свойства оценки среднеквадратичного риска. Описан класс распределений, которые могут быть предельными для данной оценки. Данные результаты опубликованы в работе [Шестаков О.В. Сходимость распределения оценки риска пороговой обработки к смеси нормальных законов при случайном объеме выборки // Системы и средства информатики. 2019. Т. 28, № 2. С. 31–38]. В ходе исследования также рассмотрена задача оценивания вероятностной плотности с заданным весом. Такие плотности возникают при анализе порядковых статистик и выборок случайного объема в задачах теории надежности и страхования. При построении оценки используется разложение по базису на основе вейвлет-функций с ограниченным спектром. Доказана асимптотическая нормальность рассматриваемой оценки при фиксированном и растущем числе членов разложения. Результаты опубликованы в работе [Шестаков О.В. Центральная предельная теорема для вейвлет-оценки вероятностной плотности с заданным весом // Вестник Московского университета. Серия 15: Вычислительная математика и кибернетика, 2019. № 2. С. 46–50]. В ходе работ также была рассмотрена задача обращения линейных однородных операторов. Такого рода задачи возникают в медицинских, физических, астрономических и других приложениях. Рассмотрена модель со случайным числом коэффициентов разложения функции, представляющей собой линейное однородное преобразование искомого сигнала, загрязненных белым гауссовым шумом. Вычислен порядок среднеквадратичного риска пороговой обработки при решении задачи обращения этого преобразования. Результаты опубликованы в статье [Шестаков О.В. Среднеквадратичный риск нелинейной регуляризации задачи обращения линейных однородных операторов при случайном объеме выборки // Информатика и ее применения. 2019. Т. 13. № 4]. IX. В рамках задачи «Описание предельных характеристик, удобных условий и оценок скорости сходимости характеристик неоднородных процессов типа рождения-гибели в терминах интенсивностей потоков информативных событий при исследовании сезонных факторов. Исследование влияния нестационарности интенсивностей на изменение предельных распределений»: В статье [Zeifman A., Satin Y., Kiseleva K., Korolev V., Panfilova T. On limiting characteristics for a non-stationary two-processor heterogeneous system // Applied Mathematics and Computation, 2019. Vol. 351. P. 48–65] в интересах гранта с помощью исследования прямой системы Колмогорова получены оценки скорости сходимости и устойчивости (по отношению к возмущениям инфинитезимальных характеристик процесса) для нового класса моделей, описывающих компьютерные системы, в которых обслуживание поступающих требований проводится одним из процессоров: или основным (более мощным) или запасным. При этом интенсивности поступления и обслуживания требований предполагаются нестационарными. Указана также последовательность действий для приближенного построения основных предельных характеристик процесса. В статье [Zeifman, A., Satin, Y., Kiseleva, K., Korolev, V. On the Rate of Convergence for a Characteristic of Multidimensional Birth-Death Process // Mathematics, 2019. Vol. 7(5). Art. No. 477] в интересах гранта проведено исследование оценок скорости сходимости в слабо эргодическом и нуль-эргодическом случаях. В статье обсуждаются некоторые оценки скорости сходимости для одномерных проекций многомерных неоднородных процессов рождения и гибели. Были также рассмотрены некоторые конкретные нестационарные модели массового обслуживания. Применяемый подход позволяет использовать аналог логарифмической нормы операторной функции для возникающей при этом нелинейной системы дифференциальных уравнений. Кроме того, аналогичные оценки могут быть получены для других одномерных процессов, связанных с исходным. Например, может быть изучено общее количество «частиц» всех типов. Более того, возможно аналогичное получение оценок скорости сходимости для одномерных проекций многомерных процессов с возможными превращениями частиц из одного типа в другой, играющими очень важную роль в стохастических моделях эпидемий.
3 1 января 2020 г.-31 декабря 2020 г. Аналитические методы теории риска, основанные на смешанных вероятностных моделях
Результаты этапа: В 2020 году опубликованы 16 работ, в том числе 7 статей в журналах, индексируемых в WoS, из которых 5 – в Q1-журналах, 12 статей в изданиях, индексируемых в Scopus, и 1 монография. В статье [Korolev V. Yu. On limit distributions for intermediate order statics in samples with random sizes // Journal of Mathematical Sciences, 2021, to appear] приведен обзор результатов, связанных с предельным поведением промежуточных порядковых статистик в выборках случайного объема. Установлена идентифицируемость специальных смесей распределений, предельных для промежуточных порядковых статистик при неслучайном объеме выборки. С помощью общих результатов о сходимости распределений случайных последовательностей с независимыми случайными индексами в терминах нормализующих последовательностей доказаны необходимые и достаточные условия сходимости распределений промежуточных порядковых статистик в выборках случайного объема к специальным смесям для каждого из трех возможных типов предельных законов. Получен явный вид не-нормальных предельных законов, которые имеют вид специальных сдвиговых смесей лог-нормальных распределений. В статье [Korolev V.Yu., Sokolov I.A., Gorshenin A.K. Max-compound Cox processes. II. // Journal of Mathematical Sciences, 2020. Vol. 246. No. 4. P. 488-502] доказаны предельные теоремы, устанавливающие необходимые и достаточные условия сходимости распределений макс-обобщенных дважды стохастических пуассоновских процессов, то есть процессов накопленных экстремумов (рекордов) маркированных дважды стохастических пуассоновских процессов к соответствующим степенным смесям классических предельных распределений экстремальных порядковых статистик при линейной нормировке. В статье [Korolev V.Yu., Sokolov I.A., Gorshenin A.K. Max-compound Cox processes. III. // Journal of Mathematical Sciences, 2021, to appear] доказаны теоремы переноса для оценок скорости сходимости распределений макс-обобщенных дважды стохастических пуассоновских процессов к соответствующим степенным смесям классических предельных распределений экстремальных порядковых статистик при линейной нормировке. Подробно рассмотрен важный частный случай, когда объем выборки имеет отрицательное биномиальное распределение (являющееся, как известно, смешанным пуассоновским при смешивающем гамма-распределении). Указанные результаты докладывались на XXXVI Международном научном семинаре по проблемам устойчивости стохастических моделей в Петрозаводске, проходившем 22-26 июня 2020 г. в дистанционном формате. Построены естественные оценки скорости сходимости в теореме Линдеберга, включающие абсолютные значения усеченных третьих алгебраических моментов и дробь Линдеберга. Построенные оценки обобщают известные неравенства Эссеена, Розовского, Ванга-Ахмада не только за счет введения параметра усечения, но и параметра баланса, позволяющего варьировать вклад третьих моментов (который может равняться нулю, например, в симметричном случае) и дроби Линдеберга. Найдены верхние и нижние оценки констант в построенных неравенствах, в том числе в неравенствах Эссеена, Розовского, Ванга-Ахмада. Введено обобщенное стационарное распределение процесса восстановления (также называемое равновесным преобразованием) для произвольных распределений с конечным ненулевым первым моментом и изучены его свойства. В частности, установлены соотношения меду моментами исходного распределения и его равновесного преобразования, свойства абсолютной непрерывности, однородности, сохранения смеси и одного одного слагаемого равновесного преобразования, найдены его неподвижные точки, плотность, функция распределения и характеристическая функция. С помощью введенного преобразование и его доказанных свойств можно строить методом Стейна оценки скорости сходимости в теореме Реньи для распределений геометрических случайных сумм независимых случайных величин без каких-либо ограничений на их носители. Указанные результаты опубликованы в работах [Shevtsova I., Tselishchev M. A Generalized Equilibrium Transform with Application to Error Bounds in the Rényi Theorem with No Support Constraints // Mathematics, 2020. Vol. 8. Iss. 4. Art. No. 577; Gabdullin R., Makarenko V., Shevtsova I. On natural convergence rate estimates in the Lindeberg theorem // Sankhya A, 2020; Шевцова И.Г. Оценки точности асимптотических вероятностных моделей. – М.: Макспресс, 2020, 136с.]. В статье [Korolev V.Yu., Zeifman A.I. Bounds for convergence rate in laws of large numbers for mixed Poisson random sums // Statistics and Probability Letters, 2020. Vol. 168. Art. 108918. P. 1-10] исследована скорость сходимости в некоторых теоремах переноса, описывающих асимптотическое поведение некоторых статистик, построенных по выборкам случайного объема. В частности, подробно рассмотрена ситуация, в которой объем выборки имеет смешанное пуассоновское распределения. Класс смешанных пуассоновских распределений очень широк и содержит большинство распределений, важных для практических приложений. Построены верхние оценки скорости сходимости в законе больших чисел для смешанных пуассоновских случайных сумм. В качестве расстояния между допредельным и предельным распределением рассмотрены дзета-метрики Золотарева порядков 1<s≤2. В случае s=2 полученные оценки неулучшаемы. Полученные результаты распространяют известные оценки скорости сходимости распределений геометрических случайных сумм (в знаменитой теореме Реньи) на существенно более широкий класс смешанных пуассоновских возможных распределений случайного индекса (объема выборки), содержащий, в частности, обобщенные отрицательные биномиальные распределения. Рассмотрена задача моделирования распределения размеров пылевых частиц лунного реголита [Горшенин А.К., Королев В.Ю. Аппроксимация распределений размеров частиц лунного реголита на основе метода статистической симуляции выборок // Информатика и ее применения, 2020. Т. 14. Вып. 2. С. 50-57; Gorshenin A.K., Korolev V.Yu., Zeifman A.I. Modeling particle size distribution in lunar regolith via a central limit theorem for random sums // Mathematics, 2020. Vol. 8. No. 9. Art. No. 1409]. Доказана новая версия центральной предельной теоремы для сумм независимых необязательно одинаково распределенных случайных величин в схеме серий, устанавливающая необходимые и достаточные условия для сближения распределений случайных сумм с классом сдвиг-масштабных смесей нормальных законов. Этот результат использован в качестве теоретического обоснования возможности использования конечных смесей логнормальных законов для аппроксимации распределения размера частиц лунного реголита. Это позволяет учесть стохастический характер интенсивностей процессов дробления/спекания при формировании ансамблей пылевых частиц в результате различных воздействий (бомбардировка метеоритами, излучение). Разработаны а) метод статистической аппроксимации неизвестных распределений скрытых данных на основе симуляции выборок (типа бутстреп-метода) и б) метод, основанный на минимизации функционала типа статистики хи-квадрат, результаты применения которых демонстрируют высокое согласие с реальными данными, содержащимися в каталоге NASA (все 317 проб, доставленные миссиями «Луна-24» и «Аполлон-11, 12, 14–17»). Особенностью данных, представленных в указанном каталоге, является их "скрытый" характер, проявляющийся в том, что приведены не сами данные, а лишь значения эмпирических функций распределения в нескольких точках (притом разных для разных проб). Разработанные полупараметрические методы статистического анализа таких данных по сути являются комбинированными, так как они представляют собой комбинацию параметрического подхода, позволяющего установить вид смешиваемого лог-нормального распределения в предложенной смешанной модели с помощью упомянутой выше версии центральной предельной теоремы для случайных сумм, и непараметрических процедур оценивания дискретного (сеточного) смешивающего распределения. Разработанные методы доведены до программной реализации и могут быть использованы для статистического оценивания параметров тяжелохвостых распределений, допускающих представление в виде смесей не только нормального, но и других распределений, обладающих свойством (условной) экстремальности (дифференциальной) энтропии , в частности, показательного или равномерного распределений. В статье [Khokhlov Yury, Korolev Victor, Zeifman Alexander. Multivariate scale-mixed stable distributions and related limit theorems // Mathematics, 2020. Vol. 8. No. 5. Art. No. 749] рассмотрены многомерные распределения вероятностей, которые допускают представление в виде масштабных смесей многомерных устойчивых распределений. Введены многомерные аналоги распределения Миттаг-Леффлера. Изучены некоторые свойства этих распределений. Основное внимание уделено представлениям соответствующих случайных векторов в виде произведения независимых случайных величин и векторов. В указанных произведениях прослежена взаимосвязь распределений сомножителей с наиболее употребимыми распределениями вероятностей. В качестве примера распределений, принадлежащих классу масштабных смесей многомерных устойчивых распределений подробно изучены многомерные обобщенные распределения Линника и многомерные обобщенные распределения Миттаг-Леффлера. Установлена взаимосвязь этих распределений с многомерными "обычными" распределениями Линника, многомерными нормальными распределениями, многомерными устойчивыми распределениями и распределениями Лапласа, а также с одномерными распределениями Миттаг-Леффлера и обобщенными распределениями Миттаг-Леффлера. Доказаны предельные теоремы, устанавливающие необходимые и достаточные условия сходимости распределений многомерных случайных последовательностей с независимыми случайными индексами (включая суммы случайного числа случайных векторов и многомерные статистики, построенные по выборкам случайного объема) к масштабным смесям многомерных эллиптически контурированных устойчивых распределений. Свойство масштабных смесей многомерных эллиптически контурированных устойчивых распределений быть одновременно масштабными смесями нетривиальных многомерных устойчивых распределений и масштабными смесями многомерных нормальных законов использовано с целью построения необходимых и достаточных условий сходимости распределений случайных сумм случайных векторов как с конечными, так и с бесконечными ковариационными матрицами к многомерному обобщенному распределению Линника. В статье [Korolev V.Yu. Some properties of univariate and multivariate exponential power distributions and related topics // Mathematics, 2020. Vol. 8. No. 11. Art. No. 1918] исследованы свойства одно- и многомерных экспоненциально-степенных распределений. Основное внимание уделено возможности представления указанных распределений в виде смесей распределений с другим значением характеристического показателя или распределений, обладающих экстремальными энтропийными свойствами. Изучены свойства смешивающих распределений, в частности, их моменты, безграничная делимость, идентифицируемость. В отличие от традиционного подхода, использован подход, который можно назвать "арифметическим" в пространстве случайных величин или векторов. При таком подходе вместо традиционной операции смешивания в пространстве распределений рассматривается операция умножения независимых случайных величин или векторов. Такой подход упрощает доказательства и делает многие свойства рассматриваемых распределений более наглядными. В одномерном случае полученные результаты позволили обобщить теорему Глезера о представимости гамма-распределений с параметром формы, меньшим единицы, в виде смешанного показательного распределения. Показано, что гамма-распределения с параметром формы, большим единицы, допускают представление в виде смесей распределения Вейбулла--Гнеденко. Доказаны теоремы переноса для распределений экстремальных порядковых статистик в выборках случайного объема, устанавливающие условия сходимости указанных распределений к односторонним экспоненциально-степенным и гамма-распределениям. Доказаны теоремы переноса, устанавливающие условия сходимости распределений максимальных и минимальных случайных сумм к односторонним экспоненциально-степенным законам. Полученные результаты позволили получить естественные обобщения на многомерный случай. Подробно рассмотрены аналитические свойства традиционных многомерных экспоненциально-степенных распределений, в частности, доказана возможность их представления в виде масштабных смесей многомерных экспоненциально-степенных распределений с бОльшим значением характеристического показателя. Известно, что распределения одномерных проекций традиционных многомерных экспоненциально-степенных распределений не являются экспоненциально-степенными. Введен класс проективных многомерных экспоненциально-степенных распределений, одномерные проекции которых имеют одномерные экспоненциально-степенных распределения. Детально изучены аналитические свойства распределений введенного класса. Доказаны предельные теоремы (теоремы переноса), устанавливающие условия сходимости распределений многомерных статистик, построенных по выборкам случайного объема (включая суммы случайного числа случайных векторов) к многомерным эллиптически контурированным экспоненциально-степенным и проективным экспоненциально-степенным распределениям. Полученные результаты дают дополнительное теоретическое обоснование применению экспоненциально степенных распределений в качестве моделей статистических закономерностей в некоторых практических задачах. В прикладных исследованиях принято использовать нормальную аппроксимацию для распределения данных, хотя бы теоретически имеющих аддитивную структуру. В основе такой традиции лежит центральная предельная теорема теории вероятностей, согласно которой распределения сумм независимых случайных величин, удовлетворяющих определенным условиям (например, условию Линдеберга), неограниченно сближаются с нормальным законом при неограниченном увеличении числа слагаемых. Однако условия, гарантирующие справедливость центральной предельной теоремы, практически невозможно достоверно проверить при ограниченном объеме наблюдаемой выборки. В частности, гистограмма, построенная по выборке из имеющего очень тяжелые хвосты распределения Коши (у которого отсутствует даже математическое ожидание) при умеренном объеме выборки может быть визуально практически неотличимой от нормального распределения. Такими же особенностями обладают и гистограммы, построенные по выборкам из распределений, имеющих вид нетривиальных масштабных смесей нормальных законов. Поэтому вопрос о том, какой может быть реальная точность нормальной аппроксимации в тех случаях, когда теоретически она неприменима, но используется в практических вычислениях, представляет большой интерес. Интерес к данной постановке обусловлен еще и тем, что при имитационном моделировании в некоторых ситуациях, например, когда распределения слагаемых принадлежат области притяжения устойчивого закона с характеристическим показателем, меньшим двух, при увеличении числа слагаемых сначала наблюдается убывание расстояния между распределением нормированной суммы и нормальным законом, и лишь при довольно большом числе слагаемых это расстояние начинает увеличиваться. В ходе реализации проекта сделана попытка формализации данного эффекта и доказана так называемая пред-предельная теорема, устанавливающая количественную оценку вкладов, вносимых в отклонение допредельного распределения от предельного нормального закона суммой наблюдений, не превышающих по абсолютной величине некоторый заданный порог, и наблюдениями, абсолютная величина которых этот порог превышает [Dorofeeva A.V., Korolev V.Yu., Zeifman A.I.. Bounds for the accuracy of invalid normal approximation // Submitted to: Colloquium Mathematicum. P. 1-8. Available at arXiv:2010.13138 [math.PR] 25 Oct 2020]. В терминах равномерного расстояния найдена оценка минимально возможного расстояния между распределением суммы слагаемых, которые могут не удовлетворять условиям центральной предельной теоремы, и нормальным законом. Предложенный подход допускает распространение на ситуации, в которых отклонение предельного распределения сумм от нормального обусловлены не только наличием слишком тяжелых хвостов у распределений слагаемых, но и случайностью числа слагаемых в сумме. При решении обратных статистических задач часто приходится обращать некоторый линейный однородный оператор, и обычно необходимо использовать методы регуляризации, поскольку наблюдаемые данные, как правило, содержат шум. Популярными методами подавления шума являются процедуры пороговой обработки коэффициентов разложения наблюдаемой функции по специальному базису. Преимущества данных методов заключаются в их вычислительной эффективности и возможности адаптации как к виду оператора, так и к локальным особенностям оцениваемой функции. Анализ погрешностей этих методов представляет собой важную практическую задачу, поскольку позволяет оценить качество как самих методов, так и используемого оборудования. Иногда природа данных такова, что регистрация наблюдений проводится в случайные моменты времени. Если точки отсчетов образуют вариационный ряд, построенный по выборке из равномерного распределения на отрезке регистрации данных, то использование обычных процедур пороговой обработки оказывается адекватным. В ходе исследований проведен анализ оценки среднеквадратичного риска при обращении линейных однородных операторов и показано, что при определенных условиях данная оценка является сильно состоятельной и асимптотически нормальной. Данные результаты опубликованы в работе [Шестаков О. В. Асимптотическая регулярность вейвлет-методов обращения линейных однородных операторов по наблюдениям, регистрируемым в случайные моменты времени // Информатика и ее применения. — 2020. — Т. 14, № 1. — С. 3–9]. В некоторых ситуациях объем выборки заранее не известен и его приходится моделировать некоторой случайной величиной. Такие ситуации могут возникать, например, в случае пропуска данных, ограниченности времени сбора данных при случайных временах регистрации наблюдений или недостатке информации о характеристиках используемого оборудования. В ходе исследований рассматривалась модель со случайным числом наблюдений, и было показано, что предельное распределение оценки среднеквадратичного риска представляет собой сдвиг-масштабную смесь нормальных законов. Результаты опубликованы в работе [Shestakov O. V. Limit distribution of a risk estimate in the problem of inverting linear homogeneous operators with a random sample size // Journal of Mathematical Sciences, 2020. Vol. 248. No. 1. P. 123–128]. Также была рассмотрена задача реконструкции томографических изображений с помощью метода обращения преобразования Радона, основанного на вейвлет-разложении функции изображения. Подобные задачи возникают в медицине, биологии, астрономии и многих других областях. Рассматривалась модель со случайным объемом данных, содержащих гауссов шум, и был оценен порядок среднеквадратичного риска при растущем числе коэффициентов разложения. Результаты опубликованы в работе [Shestakov O. V. Mean-square risk of the threshold processing in the problem of inverting the radon transform with a random sample size // Journal of Mathematical Sciences, 2020. Vol. 248. No. 1. P. 46–50]. Кроме того, в ходе исследований была рассмотрена модель сигнала, регистрируемого в случайные моменты времени и содержащего шум, обладающий долгосрочной зависимостью. Для данной модели также доказаны утверждения об асимптотической нормальности и сильной состоятельности оценки среднеквадратичного риска пороговой обработки. Полученные результаты дают возможность строить асимптотические доверительные интервалы для погрешностей пороговой обработки, используя только наблюдаемые данные. Результаты опубликованы в работе [Shestakov O. V. Wavelet thresholding risk estimate for the model with random samples and correlated noise // Mathematics, 2020. Vol. 8. No. 3. Art. No. 377]. Изучено поведение сложной нестационарной двухпроцессорной гетерогенной системы с катастрофами, отказами серверов и ремонтами, когда все параметры меняются со временем. Исследуется процесс, описывающий число требований в системе. Соответствующая матрица интенсивностей отличается по структуре от процесса рождения и гибели с катастрофами возможностями поступления и обслуживания группы из двух требований в случае малого общего числа требований в системе. Для рассматриваемого процесса с помощью метода логарифмической нормы доказана слабая эргодичность и получены оценки скорости сходимости к предельному режиму (в специальных весовых нормах, более сильных, чем норма полной вариации) и предельному среднему [Ammar S.I., Zeifman A., Satin Y., Kiseleva K., Korolev V. On limiting characteristics for a non-stationary two-processor heterogeneous system with catastrophes, server failures and repairs // Journal of Industrial & Management Optimization, 2020. 13(5)]. Рассмотрена задача получения оценок устойчивости неоднородных марковских цепей с непрерывным временем и дискретным пространством состояний. При этом предполагается, что исходная и возмущенная цепи имеют близкие друг к другу инфинитезимальные характеристики, а оцениваются отклонения величин, связанных с вектором распределения вероятностей состояний. Доказаны общие теоремы о таких оценках двух типов – в равномерной норме ($l_1$ или полная вариация), эта ситуация возникает, в частности, для конечных цепей, в ней не требуется дополнительных ограничений на структуру возмущенной инфинитезимальной матрицы; и в более сильных весовых нормах, где дополнительно предполагается, что структура инфинитезимальной матрицы исходной и возмущенной цепи совпадают [Zeifman A., Korolev V., Satin Y. Two approaches to the construction of perturbation bounds for continuous-time Markov chains // Mathematics, 2020. 8(2). Art. No. 253].

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".