ИСТИНА

Получение порядковых оценок поперечников функциональных классов, приближение функций, изучение аппроксимативных свойств множеств в различных пространствах, изучение спектральных и других свойств дифференциальных операторов, изучение особенностей множеств, каустик.

The following problems are considered: order estimates of width of function classes, approximation of functions, approximative properties ofsets in various spaces, spectral and other properties of differential operators, study of singularities of sets, caustics.

Получить теоремы вложения и оценки поперечников и энтропийных чисел вложений весовых классов Соболева на области с пиком и весом, являющимся функцией расстояния до границы области. Эта задача актуальна не только для задач теории функций, но и для теории дифференциальных уравнений в частных производных. Будут найдены условия на параметры, задающие веса, при которых выполнены теоремы вложения. В зависимости от параметров, задающих веса, будут получены порядковые оценки поперечников и энтропийных чисел вложений весовых классов Соболева для многомерных областей с пиком. Будут рассмотрены веса следующего вида: $g(x)=\varphi_g(\operatorname{dist}(x,\partial\Omega))$, $v(x)= \varphi_v(\operatorname{dist}(x,\partial\Omega))$, $\varphi_g(t)=t^{-\beta}|\log t|){-\alpha_g}$, $\varphi_v(t)=t^{-\beta_v}|\log t|^{-\alpha_v}$. Планируется исследовать новое направление в теории непрерывных селекций из многозначных отображений с невыпуклыми образами. Будут установлены геометрическо-топологические характеристики множеств в линейных (полу)нормированных пространствах, характеризующие свойство существования непрерывной аддитивной $\varepsilon$-выборки для всех $\varepsilon>0$ на любую $R$-окрестность этих множеств. Предполагается использовать методы геометрии банаховых пространств, выборок из многозначных отображений и методы геометрической топологии. В качестве приложений ожидается получение новых теорем о неподвижных точках многозначных отображений (1-й год Проекта). Планируется получение новых результатов об $\varepsilon$-выборках и их применение для изучения конкретных функциональных множеств в классических функциональных пространствах. Будет изучаться общий вид решений уравнения эйконала на различных конкретных областях в $R^n$ с использованием оригинальных методов геометрической теории приближений (в частности, теории чебышёвских солнц). Впервые соотношения между непрерывностью (в каком-нибудь смысле) метрической проекции на множества и их аппроксимативными свойствами рассмотрели Н.\,В.~Ефимов и С.\,Б.\ Стечкин. Л.\,П.~Власов показал, что в линейном нормированном пространстве множество существования, имеющее полунепрерывную снизу метрическую проекцию, является $\delta$-солнцем (почти выпуклым множеством). Н.\,В.~Невесенко дал необходимые и достаточные условия на пространство, при которых метрическая проекция на любое строгое солнце полунепрерывна снизу (непрерывна по Хаусдорфу). И.\,Г.~Царьков (1990 г.) установил, что в конечномерном банаховом пространстве множество существования с полунепрерывной снизу метрической проекцией является является $B$-ацикличным солнцем. Изучение полунепрерывности снизу метрической проекции связано с вопросом об устойчивости наилучшего приближения, имеющим теоретическую и практическую значимость. В проекте будет показано, что в широком классе конечномерных банаховых пространств $X_n$ (в частности, во всех пространствах малой размерности $n$) множество существования с непрерывной (полунепрерывной снизу) метрической проекцией является строгим солнцем и $B$-ретрактом (1-й год Проекта). Будет построен пример множества в трехмерном линейном нормированном пространстве, являющегося солнцем, LG-множеством (глобальным минимизатором), но не являющееся строгим солнцем и B-солнцем. Далее, планируется установить, что в конечномерном банаховом пространстве монотонно линейно связное LG-множество является строгим солнцем. Найти условия на пространство, при которых строгое солнце (замкнутое множество с полунепрерывной снизу метрической проекцией) является $B$-ретрактом, т.е. обладает свойством ретракции при пересечении с замкнутыми шарами. Одной из целей проекта будет показать, что замкнутое монотонно линейно связное множество с полунепрерывной снизу (или ORL-непрерывной) метрической проекцией в конечномерном банаховом пространстве является строгим солнцем. В конечномерных задачах геометрической теории приближений особый интерес связан с уравнениями Гамильтона-Якоби, имеющими отношение к геометрической теорий приближений (уравнение эйконала). В проекте планируется получить оценки минимального собственного значения оператора Штурма--Лиувилля (1-й год) $\mathbf{L}_q$ в пространстве $L^2 (\mathbb{R}_+)$, задаваемого дифференциальным выражением $-y''+ q(x)y$ и граничным условием $y'(0)=0$, и найти явные формулы для минимального собственного значения на специальных классах функций с ограниченной нормой потенциала в $L_1$, а также для других специальных классов. Будет показано, что собственные значения оператора $\mathbf{L}_q$ оцениваются снизу величиной $- (\int_{0}^{+\infty}q_{-}(x)\, dx)^2$, причём данная оценка является неулучшаемой. В данной задаче будут применены классические методы функционального анализа с использованием нового метода А.\,И.~Козко оценки собственных чисел дифференциальных операторов и метода оценки расположения непрерывного спектра, восходящего к работам Е.~Титчмарша, Б.М.~Левитана, В.А.~Марченко, В.А.~Садовничего и В.А.~Винокурова и A.B.\ de~Monvel. Пусть $p,q\in (0,\infty)$, $r\in (1,\infty)$ $a,\eta,\,\sigma>0$ и выполнено неравенство $1/q\le 1/p$. Цель исследования -- решение следующей изопериметрической задачи: \begin{equation*}-\int_{\mathbb{R}_-}|x|^q\,dt\to\inf\quad \int_{\mathbb{R}_-}|x|^p\,dt= \eta^p,\ \int_{\mathbb{R}_-}|\dot x|^r\,dt= \sigma^r,\ x(0)=a. \end{equation*} При этом, основным методом решения этой задачи будет получение следующего вспомогательного утверждения. Пусть $x(\cdot)$ -- непрерывно дифференцируемая на $\mathbb{R}_-$ и допустимая в задаче функция с носителем $[-l,0]$, для которой при всех $t\in (-l,0]$ выполнены строгое неравенство $x(t)>0$ и строгое неравенство \begin{equation*}x(t)<\left(1-s\right)^{s-1} \beta(t)^{(1-s)/r}\alpha(t)^{s/p},\quad s=(1+r'/p)^{-1},\quad 1/r+1/r'=1,\end{equation*} где $$\alpha(t):= \int_{-l}^t|x(z)|^p\,dz,\quad \beta(t):= \int_{-l}^t|\dot x(z)|^r\,dz.$$ В проекте будут получены неулучшаемые неравенства монотонности для нормального конуса к проксимально гладкому множеству в равномерно выпуклых и равномерно гладких банаховых пространствах, исследованы свойства наикратчайших на проксимально гладких множествах в равномерно выпуклых и равномерно гладких банаховых пространствах, исследованы свойства наикратчайших на множестве с заданными свойствами монотонности нормального конуса в различных равномерно гладких и равномерно выпуклых банаховых пространствах, а также изучены взаимосвязи геометрических свойств банаховых пространств и наикратчайших на проксимально гладких множествах.

Участники НИР имеют большое количество публикаций по рассматриваемым вопросам в ведущих российских и зарубежных журналах. А.Р. Алимовым и И.Г. Царьковым в 2016 г и в 2019 г. опубликованы два обзора в журнале "Успехи математических наук".