| 1 |
1 января 2015 г.-31 декабря 2015 г. |
Моделирование кардиоритмов и кольцевых нейронных сетей |
| Результаты этапа: Исследован вопрос о реализуемости бифуркации типа «катастрофы голубого неба» в некотором классе 3-мерных сингулярно возмущенных систем с одной быстрой и двумя медленными переменными. Рассмотрены случаи, когда в результате «катастрофы голубого неба» возникает устойчивый неклассический релаксационный цикл или устойчивый двумерный инвариантный тор.
Такая система использована как математическая модель электрической активности человеческого сердца. Установлена феноменологическая близость графика быстрой компоненты модели и графика ЭКГ сердца.
Предложены новые классы сингулярно возмущенных дифференциально-разностных систем с запаздыванием вольтерровского типа, моделирующие функционирование как отдельного нейрона, так и нейронных сетей. Изучены вопросы существования и устойчивости релаксационных колебаний. Проведен анализ аттракторов кольцевой сети однонаправленно связанных импульсных нейронов при неограниченном увеличении числа звеньев сети.
Для анизотропной и произвольной среды получены формулы зависимости скорости движения центра кривизны фронта волны от радиуса, обуславливающие иллюзию движущегося источника.
Методом распространяющихся волн получено представление решение одномерного волнового уравнения в среде с памятью общего вида (описываемой интегралом Лебега-Стилтьеса). Для гиперболического уравнения третьего порядка реализован аналог метода Римана, получены условия на функцию Римана.
Произведен групповой анализ одномерного уравнения Больцмана, найдены алгебры Ли группы симметрий и группы эквивалентности. |
| 2 |
1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. |
Моделирование генных сетей. Групповой анализ уравнения Больцмана |
| Результаты этапа: Для кольцевых цепочек однонаправленно связанных дифференциально-разностных уравнений с запаздыванием, являющихся математическими моделями искусственных осцилляторных генных сетей, устанавлено, что при подходящем выборе параметров в этих системах реализуется феномен буферности: сосуществует любое наперед заданное конечное число устойчивых периодических движений специального вида – так называемых бегущих волн.
Разработан новый метод для моделирования явлений «разрыва» и «буферности» в нейронных системах, использующих сингулярно возмущенное нелинейное скалярное дифференциально-разностное уравнение с двумя запаздываниями, являющееся математической моделью отдельного нейрона. Показано, что при подходящем выборе параметров это уравнение имеет устойчивое периодическое решение с произвольным
наперѐд заданным числом асимптотически высоких импульсов (пиков) на интервале периода. Показано также, что явление буферности имеет место в одномерной цепочке диффузионно связанных нейронов такого типа: когда количество компонентов в цепи возрастает согласовано с уменьшением коэффициента диффузии, число сосуществующих устойчивых периодических движений возрастает до бесконечности.
Исследован специальный класс диффеоморфизмов кольца (прямого произведения шара в R^k, k>2, на окружность). Установлен так называемый «принцип кольца», т.е. набор достаточных условий, при которых каждый диффеоморфизм из рассматриваемого класса имеет странный гиперболический аттрактор типа соленоида Смейла-Вильямса.
Для уравнения типа Ван-дер-Поля с кусочно-линейной характеристикой нелинейности полностью исследован феномен циклов-уток. Показано, что для кусочно-линейной характеристики с достаточно
большими производными в точке срыва циклов-уток не возникает, а для кусочно-линейной характеристики с горизонтальным фрагментом циклы-утки появляются при значениях параметра, характеризующего близость особой точки к точке срыва, отличающихся друг от друга на величину,
экспоненциально малую по сравнению с малым параметром в уравнении.
Для одномерного уравнения Больцмана осуществлѐн перенос группы симметрий и группы эквивалентности уравнения на макропеременные (моментные функции), при этом оказалось, что группа симметрий переносится не полностью, и размер переносимой части зависит от типа силового поля. Соответственно, получена классификация силовых полей по размерности переносимой группы симметрий.
Для произвольной линейной системы уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными исследована характеристическая форма (сформулирован принцип выделения «главной части»), для простейших типов уравнений проведѐн анализ структуры уравнения и связанной с этим структуры решений. |
| 3 |
1 января 2017 г.-31 декабря 2017 г. |
Моделирование репрессилятора. Принцип кольца |
| Результаты этапа: Один цикл работ посвящен теоретическим вопросам современной теории дифференциальных уравнений, посвященный памяти академика Д.В. Аносова и примыкающий к разрабатывавшейся им тематике. В частности, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов и В.А. Садовничий получили весьма общее и удобное достаточное условие гиперболичности отображений тора. Принцип кольца также оказался эффективно применим в задаче о существовании гиперболического странного аттрактора. Эти работы авторов служат естественным продолжением исследований, ранее изложенных А.Ю. Колесовым и Н.Х. Розовым в монографии «Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений» (Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2004).
Другой связан с весьма популярным некоторое время тому назад объектом, получившим название «репрессилятор». Его математическое описание в терминах дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной непосредственно примыкало к изучаемому кругу объектов. Авторам удалось полностью исследовать основные особенности поведения этой математической модели: установить существование релаксационного цикла и доказать его устойчивость В частности, принцип кольца оказался эффективно применим в задаче о существовании гиперболического странного аттрактора.
Для уравнения типа Ван-дер-Поля с кусочно-линейной характеристикой нелинейного элемента проведено исследование существования циклов-уток и обнаружено, что при определённых значениях параметров бифуркация Андронова-Хопфа не порождает цикл-утку, а уничтожает цикл, возникший из другой бифуркации -- бифуркации полуустойчивого цикла.
Осуществлёна групповая классификация одномерного уравнения Больцмана (относительно внешних силовых полей), произведен перенос группы симметрий на моментные величины, и для случая нулевого силового поля построено согласованное с группой симметрий уравнение состояния, позволяющего осуществить замыкание системы моментных уравнений. |
