Современные проблемы классической динамикиНИР

Источник финансирования НИР

грант РФФИ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 5 февраля 2015 г.-31 декабря 2015 г. Современные проблемы классической динамики
Результаты этапа: - Изучены симметричные бильярды, для которых бильярдное отображение локально (около эллиптической периодической орбиты периода 2) сопряжено жесткому повороту. Проведено исследование (как аналитическое, так и численное) уравнения сопряжения для соответствующих бильярдных областей, рассмотрены симметрии, зависимость радиуса сходимости от угла поворота и другие аспекты. - Для неавтономной лагранжевой системы введены динамически выпуклые области по отношению к лагранжиану. Установлена разрешимость краевой задачи в компактных динамически выпуклых областях. Если лагранжиан периодичен по времени, то в такой области существует периодическая траектория. Результаты общего характера применяются к задаче Уитни о существовании движений перевернутого маятника без падений. - Получены достаточные условия существования ограниченного решения в системе уравнений второго порядка. Теорема решает задачу Уитни о перевернутом маятнике и ряд других задач данного типа. - Получены оценки меры множества инвариантных торов, появляющихся в окрестности резонанса возмущенной гамильтоновой системы. - Рассмотрены системы на быстро колеблющемся основании в однородном поле силы тяжести. Доказано, что если колебания вертикальны, то все положения равновесия, бывшие у механической системы в отсутствие колебаний, существуют и у предельной системы, причем при достаточной интенсивности колебаний все они становятся устойчивыми.
2 4 марта 2016 г.-31 декабря 2016 г. Современные проблемы классической динамики
Результаты этапа: - Исследована задача о реализации диффеоморфизма между двумя параллельными системами лучей с помощью конечной системы зеркал. Получены оценки сверху на необходимое количество отражений. - Рассмотрена задача о вложении диффеоморфизма в поток, порожденный автономной или периодической по времени системой ОДУ. - Найдены топологические препятствия к интегрируемости гамильтоновых систем с особенностями потенциала произвольной степени в интервале между -2 и -1. - Проведено исследование бильярдных систем с тонкими рассеивателями. Изучена связь между динамикой вырожденных бильярдов и систем с особенностями ньютоновского типа. - Развит мажорантный метод для эволюционных дифференциальных уравнений с нелипшицевой правой частью в пространствах Фреше с безусловным базисом Шаудера. Полученные результаты применимы к уравнению Смолуховского. - Введено понятие и доказаны глобальные и локальные теоремы существования обобщенного решения уравнений динамики систем с негладкими неголономными связями. - Исследована устойчивость положений равновесия автономной системы, помещенной на вибрирующее по вертикали основание, при стремлении частоты вибраций к бесконечности. Получены условия стабилизации этих положений равновесия усредненной системы. Аналогичные результаты получены и для стационарных движений систем с циклическими координатами. - Исследована задача о возможном образовании и перемещении ансамбля частиц в окрестности треугольных точек либрации системы Земля-Луна-Частица при учете гравитационного и светового возмущения Солнца (облаков Кордылевского). Численное исследование доказывает возможность образования облаков в рамках принятой математической модели. - Для многомерного оператора Шредингера с потенциалом, периодическим по одной переменной, получены новые асимптотические формулы для ширины спектральных зон и дисперсионные соотношения. - Для нетривиальных решений линейного неавтономного дифференциального уравнения с интегрально малыми коэффициентами улучшены известные ранее верхние оценки скорости блуждания. - Доказано наличие диффузии Арнольда в многомерных априори неустойчивых гамильтоновых системах в окрестности сильных резонансов для типичного возмущения, являющегося в первом приближении тригонометрическим полиномом по переменным "угол", получена оценка скорости диффузии.
3 28 марта 2017 г.-31 декабря 2017 г. Современные проблемы классической динамики
Результаты этапа: - В задаче о реализации диффеоморфизма между двумя параллельными системами лучей с помощью конечной системы зеркал получены оценки сверху на необходимое количество отражений. - Для операторно-дифференциального уравнения $\dot x = Ax$, которое обладает квадратичным первым интегралом $\frac12 (Bx,x)$, получены условия гамильтоновости. В конечномерном случае достаточно потребовать, чтобы $\ker B \subset \ker A^*$. - Исследованы вопросы интегрируемости гамильтоновых систем с двумя степенями свободы при наличии сильных особенностей потенциала степени больше 2. Получено также частичное обобщение на системы с тремя степенями свободы. - Для эволюционных дифференциальных уравнения в пространствах Фреше с базисом Шаудера развиты методы оценивания времени существования решения как сверху, так и снизу и применены к задаче об устойчивости и неустойчивости решений по Ляпунову, а также к задаче о возникновении разрывов. - Для линейных гамильтоновых систем в шкале гильбертовых пространств получена глобальная теорема существования и единственности, и версия теоремы Пуанкаре о возвращении. - Для лагранжевой системы, на которую наложена дополнительная вибрирующая связь, с помощью метода усреднения получены предельные уравнения движения системы при стремлении частоты вибраций к бесконечности и доказана равномерная сходимость решений исходных уравнений к решениям предельных уравнений на конечном отрезке времени. - В задаче о форме стационарного участка тяжелой нерастяжимой гибкой нити при перемещении в неподвижной вертикальной плоскости на заданную глубину из неподвижного состояния в неподвижное найдены параметрические уравнения стационарной кривой. Форма стационарного участка и его свойства качественно совпадают с наблюдаемыми в экспериментах. - Показана возможность образования и перемещения ансамбля частиц в окрестности треугольных точек либрации системы Земля-Луна-Частица (облаков Кордылевского) при учете гравитационного и светового возмущения Солнца. - В рамках неравновесной статистической механики показано стремление газа Кнудсена к нормальному распределению по скоростям и однородному, по координатам, при многократном повторении циклов Пуанкаре. - Для асимптотического ряда по квазиклассическому малому параметру нижних собственных значений одномерного оператора Шредингера с потенциальной ямой показано, что скорость роста этих коэффициентов не более, чем ab^n(n!), т. е. асимптотический ряд имеет класс Жевре-1. Если третья производная потенциала в точке минимума отлична от нуля, то вид потенциала однозначно восстанавливается по коэффициентам асимптотического ряда любых двух собственных значений. - Доказана типичность явления диффузии Арнольда в многомерных априори неустойчивых гамильтоновых системах в окрестности сильных резонансов для типичного возмущения, оценена скорость диффузии. - Показано, что при взаимодействии конечномерной (осциллятор) и бесконечномерной (термостат) гамильтоновых систем, если число компонент термостата не меньше числа степеней свободы осциллятора, то осциллятор стремится к равновесиям, при стремлении времени и к плюс, и к минус бесконечности. При полиномиальной потенциальной энергии осциллятора он стремится к равновесию.

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".