ИСТИНА

Целью исследований, проводимых исполнителем проекта, являлось изучение асимптотического поведения решений краевых задач для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с локально периодическими, быстро осциллирующими коэффициентами и дельтообразным потенциалом, зависящими от малого параметра. Задачей исследования являлся вывод предельной (усреднённой) краевой задачи и оценка скорости сходимости решения исходной краевой задачи к решению усреднённой (предельной) краевой задачи. В частном случае, когда дифференциальный оператор является оператором Шредингера, потенциал которого представляет собой сумму периодической функции и дельтообразного потенциала, усредненная краевая задача была получена в последних работах исполнителя проекта. В настоящем проекте предполагалось исследовать существенно более сложную задачу в случае, когда и коэффициент при производных является локально периодическим и быстро осциллирующими. Предполагалось также построить главный член асимптотического разложения решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с локально периодическими, быстро осциллирующими коэффициентами и дельтообразным потенциалом. Предполагалось вывести предельную краевую задачу. При этом предполагалось получить оценку в С-норме скорости сходимости решения исходной задачи к решению предельной задачи. Исполнителем проекта рассмотрена струна с концентрированной массой, зависящей от малого положительного параметра эпсилон и быстроосциллирующей плотностью, зависящей от малого положительного параметра мю. Исследованы колебания такой струны и соответствующие краевые задачи. С помощью комбинации метода усреднения и метода согласования асимптотических разложений построены решения задач с точностью до величины порядка суммы обоих малых параметров (эпсилон и мю). Также изучены краевые задачи на отрезке для уравнения второго порядка с локально эпсилон-периодическими коэффициентами, возмущенного дельтообразным потенциалом с финитным носителем. На основе комбинации метода усреднения и метода согласования асимптотических разложений построены решения этих краевых задач с точностью до порядка первой степени эпсилон. Поставленные цели достигнуты, а задачи полностью выполнены. Полученные результаты оформлены в виде тезисов конференции и статьи в докладах французской академии наук.

Все цели выполнены. Опубликованы две печатные работы.