![]() |
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИПМех РАН |
||
В 2014 году проводились исследования некоммутативных многообразий (схем), которые определялись как дифференциально градуированные категории специального типа. В частности, все коммутативные схемы являются некоммутативными схемами, так как дифференциально-градуированные категории совершенных комплексов являются таковыми. Проводились исследовани и изучения различных свойств некоммутативных схем. Были получены описания гладкости, регулярности и собственности некоммутативных схем и показано, что эти свойства в точности соответствуют известным свойствам в коммутативном случае. Были введены новые понятия геометричности для некоммутативных схем и были изучены их свойства. Эти результаты появились в виде препринта. Изучена связь производной категории когерентных пучков циклического накрытия многообразия, обладающего прямоугольным лефшецевым разложением, и его дивизора ветвления. В качестве примера разобраны случаи гиперэллиптических многообразий Фано--Гушеля--Мукаи, двойных тел и др. Получены результаты об общей структуре гомотопов, построенных с помощью хорошо темперированных элементов в ассоциативных алгебрах. Построен проективный генератор в сердцевинах т-структур, которые получаются склейкой, при условии, что в склеиваемых т-структурах имеются проективные генераторы и выполнены некоторые технические условия на склейку. Алгебра эндоморфизмов подходящего генератора является обобщенным гомотопом при условии, что склеивающий дифференциально-градуированный бимодуль имеет только две гомологии и дифференциал хорошо темперирован. Конструкция проективного генератора применена к алгебрам типа Темперлея-Либа графов. Меняя генераторы в склеиваемых т-структурах, а также склеивающий бимодуль, можно получать различные алгебры, теория представлений которых эквивалентна исходной, что придает необходимую гибкость при изучении теории представлений алгебр Темперлея-Либа. Развита теория представлений редуцированных алгебр Темперли-Либа полного двудольного графа. Как известно, многообразия модулей этой алгебры параметризуют ортогональные пары в sl(6) и обобщенные адамаровы матрицы размера 6. Используя теорию инвариантов и алгебраическую геометрию, участниками проекта показано, что эти многообразия модулей бирациональны расслоенному произведению более понятных многообразий. Используя различные методы алгебраической геометрии, получено существование 4-мерной компоненты многообразия модулей алгебр Темперли-Либа полного двудольного графа, содержащего по 6 вершин в каждом ряду. В частности, также получены 4-мерные компоненты многообразий обобщенно-адамаровых и комплексно-адамаровых матриц. Категорное разрешение особенностей было построено Кузнецовым и Лунцем в 2012 г. Оно основано на поочередном использовании шагов двух типов. В рамках работы по проекту показано, как формализм фильтрованных производных категорий позволяет объединить два таких шага в один. В результате получается очень естественное категорное утончение обычной конструкции раздутия алгебраического многообразия с центром в замкнутой подсхеме. Пусть Q -- семейство 2-мерных квадрик над гладкой 3-мерной базой Y. Мы рассматриваем относительную схему M Фано прямых на нем. Схема M обладает структурой расслоения на коники над двулистным накрытием X -> Y, разветвленным в локусе вырождения семейства Q над Y. Двулистное накрытие X -> Y особо в конечном числе точек (соответствующих точкам y в Y, над которыми квадрика Q_y вырождается в объединение двух плоскостей), слои схемы M над этими точками являются объединением двух плоскостей, пересекающихся в точке. Построено полуортогональное разложение производной категории когерентных пучков на M. Разложение состоит из трех компонент: первая эквивалентна производной категории малого разрешения особенностей X^+ многообразия X, вторая -- скрученным разрешениям особенностей (задаваемым пучком четных частей алгебр Клиффорда на Y), а третья порождается полностью ортогональным исключительным набором. Установлена когерентность координатного кольца некоммутативного грассманниана (в терминологии Ефимова--Лунца--Орлова) коразмерности два. Получена новая характеризация коммутативных арифметических колец в терминах конечно порожденных модулей над ними.
Изучена связь производной категории когерентных пучков циклического накрытия многообразия, обладающего прямоугольным лефшецевым разложением, и его дивизора ветвления. В качестве примера разобраны случаи гиперэллиптических многообразий Фано--Гушеля--Мукаи, двойных тел и др. Получены результаты об общей структуре гомотопов, построенных с помощью хорошо темперированных элементов в ассоциативных алгебрах. Построен проективный генератор в сердцевинах т-структур, которые получаются склейкой, при условии, что в склеиваемых т-структурах имеются проективные генераторы и выполнены некоторые технические условия на склейку. Алгебра эндоморфизмов подходящего генератора является обобщенным гомотопом при условии, что склеивающий дифференциально-градуированный бимодуль имеет только две гомологии и дифференциал хорошо темперирован. Конструкция проективного генератора применена к алгебрам типа Темперлея-Либа графов. Меняя генераторы в склеиваемых т-структурах, а также склеивающий бимодуль, можно получать различные алгебры, теория представлений которых эквивалентна исходной, что придает необходимую гибкость при изучении теории представлений алгебр Темперлея-Либа. Установлена когерентность координатного кольца некоммутативного грассманниана (в терминологии Ефимова--Лунца--Орлова) коразмерности два. Получена новая характеризация коммутативных арифметических колец в терминах конечно порожденных модулей над ними.
грант РФФИ |
# | Сроки | Название |
1 | 1 января 2014 г.-31 декабря 2014 г. | Модули, когерентные пучки и производные категории |
Результаты этапа: Изучена связь производной категории когерентных пучков циклического накрытия многообразия, обладающего прямоугольным лефшецевым разложением, и его дивизора ветвления. В качестве примера разобраны случаи гиперэллиптических многообразий Фано--Гушеля--Мукаи, двойных тел и др. Получены результаты об общей структуре гомотопов, построенных с помощью хорошо темперированных элементов в ассоциативных алгебрах. Построен проективный генератор в сердцевинах т-структур, которые получаются склейкой, при условии, что в склеиваемых т-структурах имеются проективные генераторы и выполнены некоторые технические условия на склейку. Алгебра эндоморфизмов подходящего генератора является обобщенным гомотопом при условии, что склеивающий дифференциально-градуированный бимодуль имеет только две гомологии и дифференциал хорошо темперирован. Конструкция проективного генератора применена к алгебрам типа Темперлея-Либа графов. Меняя генераторы в склеиваемых т-структурах, а также склеивающий бимодуль, можно получать различные алгебры, теория представлений которых эквивалентна исходной, что придает необходимую гибкость при изучении теории представлений алгебр Темперлея-Либа. Установлена когерентность координатного кольца некоммутативного грассманниана (в терминологии Ефимова--Лунца--Орлова) коразмерности два. Получена новая характеризация коммутативных арифметических колец в терминах конечно порожденных модулей над ними. | ||
2 | 1 января 2015 г.-30 декабря 2015 г. | Модули, когерентные пучки и производные категории |
Результаты этапа: Была изучена геометрия многообразий Гушеля-Мукаи. Доказана общая теорема классификации, включающая многообразия с особенностями. Изучена связь между многообразиями Гушеля-Мукаи и EPW секстиками, в частности, получен критерий гладкости многообразия в терминах секстики. Введено понятие период-партнеров и двойственности для многообразий Гушеля-Мукаи. Доказано, что период-партнеры и двойственные многообразия Гушеля-Мукаи бирацинальны. В частности, доказано, что никакое гладкое многообразие Гушеля--Мукаи не является бирационально жестким. Получено описание пространства модулей пар алгебраических несмешанных базисов как множество критических точек потенциала. Получена также явная формула для потенциала, который оказался многочленом Лорана. Был изучен многогранник Ньютона этого многочлена Лорана. Показано, что зеркально-симметрическое многообразие к многообразию критических точек потенциала является горенштейновым многообразием Фано с терминальными особенностями. Доказано существование 4-мерного семейства несмешанных пар ортогональных базисов в 6-мерном пространстве, тем самым была решена долго стоявшая проблема квантовой теории информации. Показано, что многообразие ортогональных пар в $sl(n)$ можно интерпретировать как пересечение лагранжевых подмногообразий в произведении коприсоединенных орбит проекторов, которое, в свою очередь, интерпретировано как многообразие критических точек функции-потенциала на многообразии ортогональных проекторов. Эта функция-потенциал в подходящих координатах становится многочленом Лорана. Получено описание в комбинаторных терминах торических многообразий, соответствующих построенному многочлену Лорана. В связи с изучением ортогональных пар в $sl(n)$ и близких им представлений алгебр Темперли-Либа, в проекте была доказана когерентность квази-свободных алгебр над коммутативным кольцом. Были изучены квантовые каналы с n-кратной суперактивацией квантовой пропускной способности с нулевой ошибкой, предложенные М.Е. Широковым. Было построены семейство алгебр, описывающих эти квантовые каналы, и были исследованы начальные гомологические свойства этих алгебр. Была построена категорная теория некоммутативных деформаций набора объектов в абелевой категории. Эта теория была применена к флопируемому стягиванию относительной размерности один. Для такого стягивания определена нуль-категория и доказано, что она пропредставляет некоммутативные деформации когерентных пучков, которые являются линейными расслоениями на компонентах слоя. Доказано, что функтор из производной категории от нуль-категории в производную категорию флопируемого многобразия является сферическим. Доказано, что сферический твист этого функтора является двойным функтором флопа (флоп-флоп функтор). Показано, что эти флопы укладываются в схему шоберов, предложенную ранее Капрановым и Шехтманом в качестве категорификации превратных пучков на диске. С помощью развитых методов вычисления производящих функций алгебраических операд получены новые примеры вычислений таких функций и рядов коразмерностей многообразий мультиоператорных алгебр. Исследовались методы доказательства когерентности некоммутативных алгебр небольшой гомологической размерности, в том числе горенштейновых алгебр глобальной размерности три. Получена классификация модулей нулевой горенштейновой размерности для алгебры графов без треугольников. Были обобщены известные результаты Ёсино о двухкомпонентных градуированных модулях нулевой горенштейновой размерности. | ||
3 | 1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. | Модули, когерентные пучки и производные категории |
Результаты этапа: |
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".