ИСТИНА

В Проекте продолжается исследование задач терминального управления, начатого в серии проектов РФФИ с 2002 гг. Эти задачи содержат две компоненты: динамическую управляемую линейную систему и конечномерные краевые задачи на концах временного интервала. Краевые задачи описывают управляемый объект, который нужно перевести из одного (“плохого”) состояния - в другое (“хорошее”). Для решения этих задач, развивается подход, основанный на идеях теории двойственности. Для реализации этой идеи используется лагранжиан вместо гамильтониана, принятого в задачах оптимального управления. Использование лагранжиана приводит к разра-ботке оригинальных достаточных условий оптимальности седлового типа. Эти новые достаточные условия в свою очередь дают возможность разрабатывать оригинальные итеративные и непрерывные (т.е. не итеративные) методы седлового типа для решения задач терминального управления. Относительно этих методов доказываются новые утверждения о том, что вычислительный процесс сходится к решению задачи терминального управления по всем компонентам сложного решения. При этом сходимость по управлению является слабой, а сходимость по фазовым и сопряженным переменным является сильной, так же как и по терминальным переменным краевой задачи. Актуальность и значимость этих утверждений для обоснования различных математических моделей несомненна. Опираясь на утверждения, сформулированные в Проекте, дается обоснование применимости моделей и методов их решения для сложных задач терминального управления. В частности, разработаны методы для решения задач терминального управления с фазовыми ограничениями и краевыми задачами равновесного программирования, с задачами при неопределенности, с краевыми задачами для анализа эффективности среды функционирования и другими краевыми задачами.

The project continues the study of the terminal control problems, started in a series of RFBR projects since 2002. These problems contain two components: a controlled linear dynamical system and finite-dimensional boundary value problems on the ends of a time interval. Boundary value problems describe a controlled object that must be transferred from one ("bad") state to another ("good") state. An approach based on the idea of duality is proposed for solving these problems. To implement this idea, we use the Lagrangian instead of the Hamiltonian adopted in optimal control problems. The use of the Lagrangian leads to the development of original sufficient conditions for the optimality of saddle point type. In turn, these new conditions make it possible to develop original iterative and continuous (not iterative) methods for solving terminal control problems. Concerning these new methods, we prove that the computational process converges to the solution of the terminal control problem in all components of the complicated solution. We prove also that the convergence in controls is weak, and the convergence in state and conjugate variables is strong, as well as in terminal variables of the boundary value problem. The relevance and significance of these statements for the justification of various mathematical models is unquestionable. Based on the statements formulated in the Project, the feasibility of models and methods of their solutions for complex terminal control problems is justified. In particular, methods have been developed for solving terminal control problems with phase constraints and boundary value problems of equilibrium programming, with boundary-value problems for uncertainty, with boundary-value problems for analyzing the efficiency of Data Envelopment Analysis (DEA).

1. Развитие теории и методов решения задач терминального управления с фазовыми ограничениями и различными краевыми задачами, в качестве которых выступают: задачи выпуклого программирования, вариационные неравенства, игровые задачи, многокритериальные равновесные задачи, задачи анализа среды функционирования. Формулировку итеративных функциональных процессов в гильбертовом функциональ-ном пространстве. Доказательство сходимости итеративных функциональных методов к решениям задач терминального управления по всем компонентам многокомпонентного решения задачи, т.е. сходимость по управлению, по фазовым и сопряженным траекториям, по терминальным переменным к решению краевой задачи. 2. Развитие теории непрерывных методов решения задач терминального управления. Эта теория является непрерывным аналогом сформулированной выше теории итеративных процессов. В этой схеме задача терминального управления сводится к системе дифференциальных уравнений и конечных соотношений. Затем на базе этих соотношений строятся управления по типу обратных связей. Замещение этих соотношений обратными связями приводит к дифференциальной системе, решение которой порождает решение исходной задачи.

Разработаны модели и методы решения задач терминального управления для других классов задач с более простыми видами ограничений.

Разработаны модели и методы решения задач оптимального управления с фазовыми ограничениями. Предложены достаточные условия оптимальности, основанные на теории двойственности. Доказана сходимость методов к решению по всем компонентам.