Аппроксимативно-геометрические свойства множеств в линейных нормированных пространствахНИР

Approximative-geometrical properties of sets in normed linear spaces

Источник финансирования НИР

госбюджет, раздел 0110 (для тем по госзаданию)

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. Аппроксимативно-геометрические свойства множеств в линейных нормированных пространствах
Результаты этапа: Задачи о структурных свойствах солнц рассматривалась в работах С.\,Б. Стечкина, Н.В. Ефимова, В. Кли, В.И. Бердышева, Л.П. Власова, Б. Брозовского, Ф. Дойча, Х. Беренса, Г.Е. Иванова и др. Солнца являются наиболее естественным объектом, для которого выполнен критерий Колмогорова о характеризации элемента наилучшего приближения. В 2016 г. установлено, что в трехмерном банаховом пространстве $X$ замкнутое $P$-солнечное множество $M\subset X$ является солнцем. Показано, что в конечномерном банаховом пространстве $B$-солнечное LG-множество является строгим солнцем, а произвольное $B$-солнце является солнцем. Пусть $X$~-- банахово пространство, $ dim X \le 3$, и пусть множество $M$ -- $P$-ациклично. Тогда $M$ обладает непрерывной аддитивной (мультипликативной) $\varepsilon$-выборкой для любого $\varepsilon > 0$. Этот результат дает ответ на ряд давно стоящих вопросов о геометрических и топологических свойствах строгих солнц в произвольных трехмерных нормированных или несимметрично нормированных пространствах. Установлены следующие результаты. 1. Пусть $M$~-- ограниченно компактное монотонно линейно связное подмножество банахова пространства. Тогда следующие условия эквивалентны: {\rm 1)} $M$ имеет {\rm ORL}-непрерывную метрическую проекцию; {\rm 2)} $M$ является $B$-клеточноподобным строгим солнцем; {\rm 3)} является строгим солнцем. Отметим, что в этом результате множество не обязано быть $P$-выпуклым. Иными словами, полунепрерывная снизу метрическая проекция на замкнутое множество в трехмерном пространстве не обязана иметь выпуклые образы. Рассмотрим соответствующий пример. В~пространстве $\ell^\infty_3$ определим множество $M$ как $\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_2=\sqrt {1-x_1^2}$, $x_3=0$, $0\le x_1\le 1\}$. Легко проверить, что метрическая проекция на~$M$ непрерывна (и, в~частности, полунепрерывна снизу). Однако $M$, очевидно, не является $P$-выпуклым. 2. Пусть $M$ -- замкнутое множество с полунепрерывной снизу метрической проекцией в банаховом пространстве размерности не более~$ 3$. Тогда $M$ -- солнце, $B$-стягиваемо, $B$-ретракт и на $M$ существует непрерывная выборка из метрической проекции. 3. Пусть $M$ -- замкнутое множество с полунепрерывной снизу метрической проекцией в конечномерном банаховом пространстве из класса $(\mathrm{BM}) \cup (\mathrm{MS})$. Тогда $M$ -- $B$-ацикличное строгое солнце. Отметим, что Алимов построил пример трехмерного пространства, которое содержит \textrm{LG}-солнце, не являющееся строгим солнцем и не являющееся $B$-солн\-цем. Им также недавно установлено, что для любой конечной размерности $n\ge 3$ существует пространство $X_n$ размерности~$n$, содержащее чебышёвское солнце, не являющееся $B$-солнцем. Такой пример показывает, что множество~$M$ с непрерывной метрической проекцией в~$X_n$, $n\ge 3$, может не быть $B$-солнцем. 4.Пусть $M$ -- $P$-монотонно линейно связное замкнутое множество с полунепрерывной снизу метрической проекцией в конечномерном банаховом пространстве. Тогда $M$ -- солнце и на~$M$ существует непрерывная выборка из метрической проекции. Отметим, что само множество~$M$ в формулировке этого результата может не быть монотонно линейно связным. Поскольку монотонно линейно связное множество в~конечномерном пространстве является солнцем, то~$M$~-- $P$-солнце. Однако $P$-солнце не обязано быть $B$-солнцем. 5. Пусть $M$ -- замкнутое множество с полунепрерывной снизу метрической проекцией в~конечномерном $ (\mathrm{BM}) $-пространстве. Тогда $M$ -- строгое солнце, $B$-стягиваемо, $B$-ретракт и на $M$ существует непрерывная выборка из метрической проекции. 6. Пусть $X\in (\mathrm{RBR})$, $\operatorname{dim} X<\infty$, $M\subset X$~-- строгое солнце (замкнутое множество с полунепрерывной снизу метрической проекцией). Тогда $M$~-- $B$-ретракт, $B$-стягиваемо и на $M$ существует непрерывная выборка из метрической проекции. 7. Получен эффективный аналог теоремы Гильберта о нулях для дифференциальных полей характеристики ноль с несколькими перестановочными между собой дифференцированиями. Первые оценки в общем случае в данной задаче были получены в 2009 г. в работе О.Д.Голубицкого, М.В. Кондратьевой и А. Овчинникова, где оценки сверху были получены в терминах функции Аккермана.
2 1 января 2017 г.-31 декабря 2017 г. Аппроксимативно-геометрические свойства множеств в линейных нормированных пространствах
Результаты этапа: Найдена верхняя и нижняя оценка старшего коэффициента размерностного многочлена Колчина для линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных (обобщение теоремы Безу). Продолжаются исследования по обоснованию устройства глубокой нейронной сети. Получен ряд результатов по цифровой обработке изображений и машинному обучению. Ведение и разработка сайта машинноезрение.рф : выложены авторские материалы (по семинарским занятиям и лекциям). Подготовлены информационные материалы, тесты и эталонные решения задач по 4 темам для 1 и 2 курса в рамках Программы развития МГУ, опубликованы пособия по азам алгоритмики помощью систем ПиктоМир и Кумир, даны качественные оценки эффективности методики обучения элементам информатики в пропедевтическом курсе. Опубликованы учебники по информатике за 7, 8 и 9 классы (авторы Кушниренко А.Г., Леонов А.Г., Зайдельман Я.Н., Тарасова В.В., Дрофа Москва, 180+232+208 стр.). Все три учебника успешно прошли экспертизу. Полученные результаты доложены на 8 российских конференциях. Разработан и поддерживается образовательнй контент и учебный процесс курсов по программированию (http://www.mirera.ru) с реализацией дистанционных автоматизированных практикумов по программированию. Подготовлено новое учебное пособие "Задачи по комбинаторике для лингвистов" (в соавторстве с М. Р. Пентусом). Продолжена поддержка сайта научного журнала "Фундаментальная и прикладная математика". Разработан спецкурс по теории компиляции и основного курса по теоретической информатике для магистратуры мехмата. Ведется персональный сайт преподавателя со всеми учебными материалами. Подготовлены и поддерживаются следующие научно-образовательные сайты: http://dcherukhin.info/teaching/seminars.htm http://osday.ru машинноезрение.рф http://www.mirera.ru http://math.msu.su/~vvb/
3 1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. Аппроксимативно-геометрические свойства множеств в линейных нормированных пространствах
Результаты этапа: Разработан спецкурс по теории компиляции и основной курса по теоретической информатике для магистратуры мехмата. Разработаны два спецкурса: "Основы геометрической теории приближения", "Углубленный курс геометрической теории приближения". Ведется персональный сайт преподавателя со всеми учебными материалами. Подготовлены и поддерживаются следующие научно-образовательные сайты: http://dcherukhin.info/teaching/seminars.htm http://osday.ru машинноезрение.рф http://www.mirera.ru http://math.msu.su/~vvb/ Рассмотрены основные и вспомогательные понятия для задач рекомендательных систем (РС), а также описываны основные способы решения этих задач. Рассматриваются как эвристические, так и более современные методы, основанные на матричных разложениях. Помимо теоретических формулировок также приводятся конкретные алгоритмы. При описании методов даются их сравнения, выделяются плюсы и минусы подходов. Реализована РС на основе одного из изложенных в работе подходов, а также успешно внедрена в реальную коммерческую систему. Описываны трудности, возникающие при реализации системы и пути их решения.
4 1 января 2019 г.-31 декабря 2019 г. Аппроксимативно-геометрические свойства множеств в линейных нормированных пространствах
Результаты этапа: Найдена верхняя и нижняя оценка старшего коэффициента размерностного многочлена Колчина для линейных систем дифференциальных уравнений в частных производных (обобщение теоремы Безу). Продолжены исследования по обоснованию устройства глубокой нейронной сети. Получен ряд результатов по цифровой обработке изображений и машинному обучению. Ведение и разработка сайта машинноезрение.рф : выложены авторские материалы (по семинарским занятиям и лекциям). Подготовлены информационные материалы, тесты и эталонные решения задач по 4 темам для 1 и 2 курса в рамках Программы развития МГУ, опубликованы пособия по азам алгоритмики помощью систем ПиктоМир и Кумир, даны качественные оценки эффективности методики обучения элементам информатики в пропедевтическом курсе. Опубликованы учебники по информатике за 7, 8 и 9 классы (авторы Кушниренко А.Г., Леонов А.Г., Зайдельман Я.Н., Тарасова В.В., Дрофа Москва, 180+232+208 стр.). Все три учебника успешно прошли экспертизу. Полученные результаты доложены на 8 российских конференциях. Разработан и поддерживается образовательнй контент и учебный процесс курсов по программированию (http://www.mirera.ru) с реализацией дистанционных автоматизированных практикумов по программированию. Подготовлено новое учебное пособие "Задачи по комбинаторике для лингвистов" (в соавторстве с М. Р. Пентусом). Продолжена поддержка сайта научного журнала "Фундаментальная и прикладная математика". Разработан спецкурс по теории компиляции и основного курса по теоретической информатике для магистратуры мехмата. Ведется персональный сайт преподавателя со всеми учебными материалами. Подготовлены и поддерживаются следующие научно-образовательные сайты: http://dcherukhin.info/teaching/seminars.htm http://osday.ru машинноезрение.рф http://www.mirera.ru http://math.msu.su/~vvb/ Рассмотрена задача калибровки группы видеокамер как один из этапов локализации и сопровождения целевого объекта. Предложен алгоритм поиска внешних параметров группы камер на основе нескольких существующих подходов. Рассмотрена задача оценки точности при калибровке, рассчитаны оценки абсолютных погрешностей для трех наиболее распространенных алгоритмов поиска фундаментальной матрицы, а также оценка погрешности предложенного алгоритма поиска внешних параметров сети видеокамер. Представлены результаты программной реализации нескольких шагов предложенного алгоритма на синтезированной сцене. Разработана программа для классификации (на основе сверточных нейронных сетей) геопривязанных массивов данных, полученных в результате мульти- и гипер-спектральной съемки растений картофеля с различной интенсивностью хозяйственно-значимых заболеваний (вирусных и оомицетных) и физиологических стрессов, а также RGB-изображений, полученных в результате съемки таких растений с БПЛА.
5 1 января 2020 г.-31 декабря 2020 г. Аппроксимативно-геометрические свойства множеств в линейных нормированных пространствах
Результаты этапа:
6 1 января 2021 г.-31 декабря 2021 г. Аппроксимативно-геометрические свойства множеств в линейных нормированных пространствах
Результаты этапа:
7 1 января 2022 г.-31 декабря 2022 г. Аппроксимативно-геометрические свойства множеств в линейных нормированных пространствах
Результаты этапа:

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".