![]() |
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИПМех РАН |
||
Как внутреннее развитие топологии, так и спрос на ее применение в других разделах математики потребовало построения теории топологических пространств за пределами метризуемых пространств и многообразий. Возникает необходимость в построении сложных примеров, создании новых методов исследований, использующих, в том числе, и дополнительные алгебраические структуры на топологических пространствах. Предполагается исследовать как классические тополого-алгебраические структуры, такие как функциональные пространства, пространства вероятностных мер, топологические группы, топологические векторные пространства и другие топологические алгебры, так и относительно мало изученные, но тем не менее весьма интересные и полезные конструкции, такие как компактификации тихоновских пространств и их наросты. В свою очередь, подобные конструкции тесно связаны с теоретико-множественными аспектами топологии (в первую очередь, ультрафильтрами) и с вопросами однородности топологических пространств, факторпространств и ретрактов. Наделение объекта с алгебраической (в частности, групповой) структурой топологией, согласованной с этой структурой, становится мощным исследовательским инструментом в изучении как алгебраических, так и топологических свойств данного объекта. Например, в современной теории динамических систем широко используются методы топологической теории групп преобразований. Будут также изучены общие алгебраические и топологические свойства функторов на топологических пространствах. Особое внимание уделяется таким функторам как: степень пространства; экспонента; функтор вероятностных мер; свободная (абелева) группа, порожденная топологическим пространством; функтор Дженнингса, ставящий в соответствие всякому топологическому кольцу топологическую группу; K-функтор. Также будет изучен вопрос существования специальных вложений конечномерных компактов в евклидово пространство.
The intrinsic development of topology and its applications in other domains of mathematics have required the creation of the theory of topological spaces beoynd the scope of metrizable spaces and manifolds. There arises the need for constructing involved examples, and developing new methods of study, using, in particular, additional algebraic structures on topological spaces. It is planned to investigate both classical topologo-algebraic structures, such as function spaces, probability measure spaces, topological groups, topological vector spaces, and other topological algebras, on the one hand, and relatively little studied but still very interesting and useful constructions, such as compact extensions of Tychnoff spaces and their remainder, on the other hand. In turn, the latter are closely related to the set-theoretic aspects of topology (first of all, ultrafilters) and the problems of homogeneity of topological spaces, quotient spaces, and retracts. Endowing an object carrying an algebraic (in particular, group) structure with a topology consistent with this structure becomes a powerful research tool in the study of both algebraic and topological properties of the given object. For example, in the modern theory of dynamical systems, methods of the topological theory of transformation groups are extensively applied. It is also planned to study general algebraic and topological properties of functors on topological spaces. Special attentian will be given to the following functors: power of a space; exponential; the functor of probability measures; free (Abelian, Boolean) topological group generated by a space; the Jennings functor, which assigns a topological group to each topological ring; the K-function. The existence of special embeddings of compact spaces in Euclidean spaces will also be studied.
1. Установление связей между топологическими свойствами пространств и их компактификаций, между пространствами и наростами их компактификаций (свойства двойственности). 2. Исследование однородности компактных о общих топологических пространств, включая алгебраическую однородность однородных компактов, описание непрерывных образов однородного компакта. Исследование сохранения однородности другими естественными операциями на топологических пространствах, такими как факторизация (в частности, алгебраическая) и ретракция. Описание компактных подпространств однородных пространств и их произведений. 3. Исследование существования согласованных с операциями топологий с заданными свойствами на группах и других алгебраических структурах, в том числе, исследование свойств пространств функций. 4. Изучение алгебро-топологической структуры полугруппы ультрафильтров на множестве и ее связей с топологиями на этом множестве и на ассоциированных с ним алгебраических структурах. 5. Исследование существования согласованных с операциями общих и специальных топологий на группах, в частности, топологий с экстремальными свойствами (максимальных, экстремально несвязных, неразложимых и пр.). Выяснение существования специальных топологий на группах, относительно которых групповые операции непрерывны в том или ином смысле. 6. Новые способы конструирования банаховых пространств непрерывных функций и объектов топологической алгебры, которые имеют заданные свойства. Приложения топологических методов к геометрии банаховых пространств и решению вариационных задач. 7. Исследование общих свойств алгебро-топологических функторов на топологических пространствах. Изучение степеней элементов в группе Дженнингса, с особым упором на случай действительных и комплексных коэффициентов, что соответствует характеру локальной динамики в неподвижной точке гладкого и голоморфного отображения. 8. Установление связей между топологическими свойствами G-простанств, их эквивариантными компактификациями и наростами их эквивариантных компактификаций. 9. Выяснение существования наследственно сепарабельных и наследственно линделефовых пространств в функциональных пространствах.
Исследованы наросты метризуемых пространств; это важно потому, что класс метризуемых пространств связан со многими другими важными классами топологических пространств. Решены задачи о свойствах пространств с действием подгрупп произведения полных по Чеху групп, об условиях алгебраической однородности G-пространств; о редукции действий и о роли структуры произведения G x X в продолжении действий. Построена теория d-открытых действий. Доказано, что свободная топологическая группа не может быть экстремально несвязной и получены другие результаты об экстремальных топологиях на группах. Исследованы топологии Маркова и Зарисского на группах и моноидах, условия их совпадения, а также условия, при которых эти топологии являются отделимыми групповыми топологиями. Доказано, что совместимо с ZFC считать, что в пространствах функций над компактами понятия наследственной сепарабельности и линделефовости совпадают. Проведены многочисленные исследования пространств вероятностных мер. Построена топологическая теория множеств крайних точек компактов в локально выпуклых пространствах и банаховых пространствах. Получены многочисленные результаты о структуре функциональных пространств в топологии поточечной сходимости. Исследованы общие свойства свободных топологических групп и векторные пространств.
госбюджет, раздел 0110 (для тем по госзаданию) |
# | Сроки | Название |
1 | 1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. | Общая теория топологических пространств, размерности и топологических операций и ее приложения к функциональному анализу и топологической алгебре. 2016-2020 |
Результаты этапа: Начато построение теории размерности и универсальности для фреймов. Введено понятие насыщенного класса фреймов, определены размерностно-подобные кардинальные инварианты и доказано существование универсальных элементов в некоторых классах фреймов. Доказано, что между любыми двумя метрическими компактами существует соответствие, оптимальное в том смысле, что для него достигается расстояние Громова-Хаусдорфа. Всякое такое соответствие порождает изометрическое вложение данных компактов в компактное метрическое пространство, при котором метрика Громова-Хаусдорфа совпадает с метрикой Хаусдорфа. Доказано, что на любой абелевой группе бесконечной мощности m существует в точности exp(exp m) неэквивалентных ограниченных хаусдорфовых групповых топологий. В предположении континуум-гипотезы определено число неэквивалентных компактных и локально компактных хаусдорфовых групповых топологий на группе (Z_p)^N. Исследуется характер изменения глубины элемента группы J(Z_2) подстановок формальных рядов при возведении его во все степени. Особый упор сделан на элементы конечного порядка. | ||
2 | 1 января 2017 г.-31 декабря 2017 г. | Общая теория топологических пространств, размерности и топологических операций и ее приложения к функциональному анализу и топологической алгебре (2017) |
Результаты этапа: Установлено, что число гомеоморфизмов наростов счетного плотного в себе пространства не более континуума. Доказано: если некоторый нарост предкомпактной топологической группы со счётной сетью нормален, то эта группа метризуема; если хотя бы один нарост пространства $C_p(X)$ (непрерывных вещественных функций на пространстве $Х$ в топологии поточечной сходимости) нормален, то пространство $Х$ счётно. Уточнена теорема о дихотомии для топологических групп. Для произвольной топологической группы $G$ выполняется хотя бы одна из следующих альтернатив: (1) каждый нарост группы $G$ линделёфов; (2) каждый нарост группы $G$ счётно компактен; (3) каждый нарост группы $G$ не нормален. Получена теорема о дихотомии для факторпространств топологических групп по компактным подгруппам. Нарост любой компактификации такого факторпространства или псевдокомпактен, или метрически-дружелюбен. Доказано, что никакой нарост локально полного по Чеху, не полного по Чеху пространства не однороден. Если все точки нароста локально полного по Чеху пространства типа $G_\delta$, то мощность нароста не более континуума. В предположении континуум-гипотезы показано, что, если нарост топологической группы в ее Стоун-Чеховской компактификации нормален, то он линделефов. Установлена сепарабельность и метризуемость топологической группы, некоторый нарост которой совершенен. Получено сильное необходимое условие того, что тихоновское топологическое пространство является ретрактом паратопологической группы (т.е. группы с непрерывным умножением): таковым является существование некоторой бинарной операции на пространстве, которую автор ввел ранее (для других целей) и назвал $\tau$-твистером. Доказаны общие теоремы, из которых вытекает, в частности, что $\beta\omega$ не является ретрактом паратопологической группы, а также что пространство $\omega_1$ счетных ординалов не является ретрактом никакой топологической группы. Доказано также, что любой компакт счетной тесноты, являющийся ретрактом паратопологической группе, обязан удовлетворять первой аксиоме счетности, и любой наследственно нормальный компакт с этим свойством обязан удовлетворять первой аксиоме счетности во всех точках из всюду плотного множества. Решена проблема о существовании в ZFC счетной недискретной экстремально несвязной топологической группы. Доказано, что из существования счетной (и даже сепарабельной) недискретной экстремально несвязной группы вытекает существование быстрого фильтра и, следовательно, такие группы не существуют в некоторых моделях ZFC. Доказано, что любая счетная недискретная топологическая группа, фильтр окрестностей единицы в которой не является быстрым, содержит дискретное подмножество с единственной неизолированной точкой. Таким образом, существует модель ZFC, в которой любая недискретная счетная топологическая группа содержит незамкнутое дискретное подмножество с единственной предельной точкой. Доказано, что в любом счетномерном топологическом векторном пространстве над конечным полем есть дискретный базис, имеющий не более одной предельной точки. Доказано, что алгебраически однородное пространство является факторпространством omega-узкой топологической группы в том и только том случае, если на нем существует разделяющее семейство эквивариантных отображений в сепарабельные метризуемые $G$-пространства. Установлено, что факторпространство топологической группы, факторизуемой относительно польских групп, является $G$-пространством, факторизуемым относительно польских $G$-пространств. Доказано, что для любого бесконечного кардинала $\tau$ существование нульмерного $\tau$-монолитного компакта тесноты $\tau$, у которого число Линделефа пространства непрерывных вещественнозначных функций в топологии поточечной сходимости больше $\tau$, эквивалентно существованию $\tau^+$-дерева Ароншайна. Проведено детальное исследование больших множеств в группах. Изучение разных классов больших множеств в группах и полугруппах началось в начале прошлого века в топологической динамики в связи с минимальными динамическими системами и теоремами о возвращении. К таким понятиям относятся классические понятия синдетических, толстых и кусочно синдетических множеств. В последние десятилетия большие множества нашли также весьма важные применения в комбинаторике и теории ультрафильтров (арифметике ультрафильтров и топологии полугрупп ультрафильтров). В исследованиях участников проекта о существовании экстремально несвязных топологических групп естественно возник новый класс больших множеств, который авторы назвали классом жирных множеств. Подробно исследована связь этого класса с другими большими множествами, построены примеры, различающие разные классы больших множеств (в том числе и классические), описаны групповые топологии, порожденные жирными (а также синдетическими и кусочно синдетическими) множествами, охарактеризованы жирные множества в булевых группах в терминах свободных булевых топологических групп. Выявлена тесная связь между жирными множествами в булевых группах и некоторыми классами ультрафильтров. Предложена конструкция замены действующей на пространстве группы с сохранением транзитивности, ($d$-)открытости действия, сохранения фиксированной эквиравномерности. Доказано, что компактное факторпространство подгруппы произведения полных по Чеху групп с 1 аксиомой счетности метризуемо, факторпространство omega-уравновешенной группы с 1 аксиомой счетности метризуемо. Если на пространстве со свойством Бэра и с 1 аксиомой счетности транзитивно действует omega-узкая группа, то пространство сепарабельное метризуемое. Получены новые результаты по однородности подмножеств экстремально несвязных пространств и их произведений. А именно, доказано, что любое однородное компактное подпространство конечного произведения экстремально несвязных пространств конечно. Для первой степени это классический результат Фролика 1967 года. Кроме того, доказано, что любое компакт в однородном подпространстве третьей степени экстремально несвязного пространства конечен. В предположении континуум гипотезы последний результат распространяется на все конечные степени: любой компакт в однородном подпространстве конечной степени экстремально несвязных пространств конечен. Введены и изучены насыщенные классы фреймов веса $\le \tau$. Такие классы насыщены универсальными элементами (фрейм универсален для некоторого класса фреймов, если он сам принадлежит этому классу и любой фрейм из этого класса вкладывается в данный фрейм). Раасматриваются насыщенные классы трех типов. Каждый из этих классов обладает тем основополагающим свойством, что пересечение $\le \tau$ насыщенных классов является насыщенным классом и, следовательно, содержит универсальные элементы. Доказано, что классы RegFrm($\tau$) и CRegFrm($\tau$) регулярных и вполне регулярных фреймов веса $\le \tau$ насыщенны для любого из рассматриваемых типов. Отсюда следует, что в классах RegFrm($\tau, \mu$) и CRegFrm($\tau, \mu$) регулярных и вполне регулярных фреймов веса $\le \tau$ с декомпозиционным инвариантом $\mu \le \tau$ существуют универсальные фреймы. Продолжено исследование $R$-факторизуемых $G$-пространств. Дана их характеризация, установлено, что компактные факторпространства $R$-факторизуемы в том и только том случае, если они могут быть факторпространствами $\omega$-узких групп. Рассмотрена $R$- факторизуемостость $G$-пространств в категории $G$-Tych. Доказано, что $R$-факторизуемое $G$- пространство с транзитивным действием, фазовое пространство которого обладает свойством Бэра, является $R$-факторизуемым в категории $G$-Tych. Показана эквивалентность $R$-факторизуемости $C$-вложенной всюду плотной подгруппы $H$ группы $G$ и $R$-факторизуемости в категории $G$-Tych $G$-пространства $(H; G; \alpha)$, где $\alpha$ — естественное действие подгруппы на группе. Показано, что пополнения по Райкову и по Дьедонне $R$-факторизуемой группы являются $R$-факторизуемыми в категории $G$-Tych $G$-пространствами. Доказано сохранение $R$-факторизуемости в категории $G$-Tych при переходе к $G$-компактификации. Введено понятие факторпространства $G$-тихоновского пространства. Установлена его универсальность. Найдены новые достаточные условия счетной компактности пространства $X^\tau$. Рассмотрена следующая слабая форма топологического свойства нормальности: пространство называется паранормальным (в смысле Никоша), если для любой счетной дискретной системы замкнутых множеств $\{D_n: n<\omega\}$ найдется локально конечная система открытых множеств $\{U_n:n<\omega\}$ такая, что для всех $n<\omega$ выполняется $D_n\subst U_n$, и $D_m\cap U_n\ne \emptyset$ в том и только в том случае, когда $m = n$. Нетрудно заметить, что не только все нормальные пространства, но и все счетно паракомпактные пространства являются паранормальными, однако обратное неверно. Доказана следующая теорема, которая обобщает хорошо известную теорему Зенора: Если произведение $X \times Y$ является $F_\sigma$-паранормальным, то либо $X$ нормально и счетно паракомпактно, либо все счетные подмножества пространства $Y$ замкнуты. Предложен новый подход к теории обыкновенных дифференциальных уравнений, основанный на использовании частичных отображений. С помощью этого подхода удается аксиоматизировать значительную часть теории, что дает возможность изучать дифференциальные уравнения с разрывной правой частью, а также дифференциальные включения, с помощью методов классической (хотя и слегка модифицированной) теории. Изучения гомологических свойств множеств решений приводит к новой версии метода сдвига в теории краевых задач, которая, наряду с теорией Лере--Шаудера, является мощным средством исследования и решения краевых задач. | ||
3 | 1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. | Общая теория топологических пространств, размерности и топологических операций и ее приложения к функциональному анализу и топологической алгебре (2018) |
Результаты этапа: Показано, что если топологическая группа G плотна и C-вложена в регулярное линделёфово пространство X, то при неограничительных условиях на G или X пространство X является топологической группой, содержащей G в качестве плотной топологической подгруппы, и обе группы G и X являются R-факторизуемыми. В качестве частного случая этот результат включает описание псевдокомпактных топологических групп как плотных C-вложенных подгрупп компактных групп, полученное Комфортом и Россом в 1966 г. Также введены новые понятия sm-факторизируемых и плотно sm-факторизируемых топологических групп и установлено несколько соотношений между этими классами групп, с одной стороны, и классом R-факторизуемых групп, с другой. Топологические пространства X и Y называются 2-гомеоморфными, если существуют гомеоморфные замкнутые подпространства в X и Y такие, что их дополнения также гомеоморфны. Получены некоторые достаточные условия 2-гомеоморфности пространств. В частности, показано, что если пространство Y сопряжено с пространством X, то X и Y 2-гомеоморфны. Дополнение R^n∖F произвольного компактного подмножества в евклидовом пространстве R^n 2-гомеоморфно самому пространству R^n. Также даны некоторые необходимые условия 2-гомеоморфности двух пространств. Для этого используется, в частности, следующий факт: если X и Y являются непустыми 2-гомеоморфными пространствами, то некоторые непустые открытые подпространства U и V в X и Y соответственно гомеоморфны. Если G --- плотная подгруппа топологической группы B, то подпространство X = B\G называется групповым наростом или, коротко, g-наростом топологической группы G, а B называется групповым расширением группы G. Изучены g-наросты топологических групп. Показано, что если X является g-наростом линделёфовой топологической группы G и X содержит непустое компактное подмножество счетного характера в X, то G, X и пополнение по Райкову группы G являются линелёфовыми p-пространствами; кроме того, любой g-нарост G является линделёфовым p-пространством. Отсюда следует, что топологическая группа G является линделёфовым p-пространством, если ее непустой g-нарост является линделёфовым p-пространством. Если некоторый непустой g-нарост топологической группы G является паракомпактным p-пространством, то топологическая группа G также является паракомпактным p-пространством. Кроме того, положено начало систематическому развитию теории размерностей в классе всех, не обязательно локально компактных, топологических групп, для которых многие фундаментальные проблемы остаются нерешенными, в частности: содержит ли каждая связная польская группа гомеоморфную копию [0,1]? Существует ли однородный метризуемый компакт X такой, что группа гомеоморфизмов X двумерна? Верно ли, что для топологической группы G со счетной сетью dim G = ind G = Ind G? Имеет ли место неравенство dim (G × H) ≤dim G + dim H для произвольных топологических групп G и H, являющихся подгруппами σ-компактных топологических групп? Получены результаты в направлении решений этих проблем, сформулировано много связанных с ними задач. В рамках общей теории размерности доказан аналог результата Пасынкова о конечномерности топологических произведений для размерной функции I, определенной С. Илиадисом. Пусть F_j --- нормальная база в топологическом пространстве X_j, j = 1, 2. Тогда I(X_1 × X_2, F_1⊗F_2) ≤ ϕ(I(X_1, F_1), I(X_2, F_2)), где ϕ --- рекурсивное отношение. Как следствие получен результат о конечномерности топологических произведений компактов для большой индуктивной размерности. Исследованы неподвижные точки и точки совпадения отображений упорядоченных множеств. Доказано, что в некоторых случаях теоремы о совпадении пары отображений упорядоченных множеств могут быть получены из теорем о неподвижной точке многозначного отображения. Получены теоремы о сохранении свойства отображения упорядоченного множества иметь неподвижную точку и свойства пары отображений упорядоченных множеств иметь точку совпадения при подходящей упорядоченной гомотопии. Введено понятие согласованно цепно изотонного семейства многозначных отображений упорядоченного множества. Получены достаточные условия, гарантирующие существования общих неподвижных точек такого семейства. Кроме того, получены теоремы о существовании общих неподвижных точек коммутирующего семейства многозначных изотонных отображений. Получены достаточные условия, обеспечивающие существование точки совпадения конечного семейства отображений. Разработан итерационный метод поиска общих неподвижных точек семейства отображений упорядоченного множества. Доказаны теоремы о существовании наименьшего элемента во множестве общих неподвижных точек, для некоторых семейств отображений упорядоченного множества, и о существовании минимальных элементов во множестве точек совпадения семейства отображений упорядоченных множеств. Изучено поведение паранормальности при основных операциях над паранормальными пространствами. Топологическое пространство называется паранормальным, если любая счетная дискретная система замкнутых множеств {D_n: n = 1, 2, 3, ...} может быть расширена до локально конечной системы открытых множеств {U_n: n = 1, 2, 3 , ...}, т.е. D_n содержится в U_n для всех n и D_m ∩ U_n ≠ Ø тогда и только тогда, когда D_m = D_n. Доказано, что если X --- счетно компактное пространство, куб которого наследственно паранормален, то X метризуемо. Получены условия на гиперпространство exp(X), при которых X является компактом и метризуемым компактом; доказано, что если любое подмножество (любое F_\sigma-подмножество) функционального пространства C_p(X) в топологии поточечной сходимости паранормально, то C_p(X) совершенно нормально (нормально). Продолжены исследования по однородности топологических пространств. Скажем, что топологическая группа G реализует однородность топологического пространства X, если существует непрерывное транзитивное действие G на X. Исследование пространств, однородность которых может быть реализовано группами из некоторого фиксированного класса топологических групп, было начато А.В. Архангельским в 1987. Получены результаты об упрощении действующих групп, сохраняющих свойства действий: транзитивность, являющуюся смежным пространством и сохраняющую фиксированное равенство в случае G-тихоновского пространства. Охарактеризованы топологические пространства, которые являются смежными пространствами (сепарабельных) метризуемых групп и полных метризуемых (польских) групп. В связи с однородностью следует упомянуть дальнейшие продвижения в теории экстремально несвязных пространств. Доказано, что для любого свободного ультрафильтра p на \omega существуют однородные пространства X и Y такие, что X p-компактно, Y счетно компактно в счетной степени и произведение X x Y не псевдокомпактно, причем пространство X^\tau счетно компактно для любого \tau. Доказано также, что все компактные подмножества однородных подпространств третьей (а в предположении CH и любой конечной) степени экстремально несвязного пространства конечны. Кроме того, в предположении CH все компактные подмножества однородных подпространств счетной степени экстремально несвязного пространства метризуемы. Усилена знаменитая теорема Фролика о конечности однородных экстремально несвязных компактов, а именно, доказано, что компактные однородные подпространства конечной степени экстремально несвязного пространства конечны. Продолжено исследование булевых топологических групп (особенно групп с экстремальными топологическими свойствами) и связи их топологии с теорией ультрафильтров. В этом контексте введено понятие независимого множества в группе и изучены независимые множества в группах. Скажем, что множество X элементов группы G является k-независимым, если x_1^{\epsilon_1}x_2^{\epsilon_2}...x_k^{\epsilon_k} \ne 1 для любых \epsilon_i = \ pm1 и любых различных x_i \in X, и что множество X независимо, если оно k-независимо для любого k \ge 2. Независимые множества и их обобщения естественно возникают при изучении топологических групп с экстремальными свойствами, с одной стороны, и больших множеств в группах, с другой. Особый интерес представляет существование незамкнутых или незамкнутых дискретных независимых множеств. Доказано, что (i) из существования счетной экстремально несвязной группы, содержащей незамкнутый 4-независимый набор, вытекает подразумевает наличие быстрых (ультра)фильтров; (ii) из существования рамсеевского ультрафильтра на множестве мощности \kappa вытекает существование булевой топологической группы дисперсионного характера \kappa, в которой все независимые множества замкнуты (и дискретны); (iii) если булева топологическая группа содержит незамкнутый независимый набор и ноль не является предельной точкой для любого 3-независимого набора, то существует так называемый 3-arrow ультрафильтр; (iv) каждая булева топологическая группа содержит замкнутое дискретное максимальное независимое множество. Установлена связь между наличием незамкнутых независимых (в несколько более общем смысле) множеств в топологических группах, топологическими свойствами больших множеств в этих группах и существованием ультрафильтров типа Рамсея. Независимые множества оказываются также очень полезны при изучении кардинальных инвариантов \delta и \hat\delta топологических групп, характеризующих экстремальную несвязность топологии в данной точке. | ||
4 | 1 января 2019 г.-31 декабря 2019 г. | Общая теория топологических пространств, размерности и топологических операций и ее приложения к функциональному анализу и топологической алгебре (2019) |
Результаты этапа: Изучены свойства наростов компактификаций топологических пространств, обладающих данным свойством $P$ локально. Разработан общий подход к этой проблеме. В частности, рассмотрены наросты локально метризуемых пространств и показано, что они редко бывают однородными. Например, если $X$ --- локально метризуемое локально сепарабельное пространство и для некоторой его компактификации $bX$ нарост $Y=bX\X$ однороден, то $Y$ является совершенным прообразом сепарабельного метрического пространства. Если вдобавок $X$ нигде не локально компактно, то $X$ также является совершенным прообразом сепарабельного метрического пространства. Исследованы свойства топологических пространств типа полноты, которые определяются в терминах семейств открытых покрытий. Доказана мультипликативность некоторых таких свойств. Показано, что некоторые свойства типа полноты мультипликативны. Из полученных результатов выведены новые критерии компактности псевдокомпактных подпространств топологических пространств. Свойства типа полноты рассмотрены также в связи с групповыми расширениями топологических групп. Изучена общая проблема о свойствах однородного компакта $X$, содержащего "хорошо расположенное" замкнутое подпространство $F$ с "хорошими свойствами". Например, доказано, что если теснота $F$ счетна и $X\F$ металинделёфово, то теснота $X$ тоже счетна. Введено новое понятие $G_\delta$-однородного пространства и доказано, в частности, что вес $G_\delta$-однородного компакта счетной тесноты не превосходит $2^\omega$. Введено понятие и дана характеризация $R$-факторизуемости $G$-пространств в категории $G$-Tych. Для $G$-пространств с $d$-открыто действующими группами установлена эквивалентность $R$-факторизуемости и $R$-факторизуемости в категории $G$-Tych. Доказано, что $R$-факторизуемое $G$-пространство с транзитивным действием, фазовое пространство которого обладает свойством Бэра, является $R$-факторизуемым в категории $G$-Tych. Показано, что пополнение по Дьедонне $R$-факторизуемой группы является фазовым пространством $R$-факторизуемого в категории $G$-Tych $G$-пространства. Дана характеризация $R$-факторизуемости в категории $G$-Tych при переходе к $G$-компактификации. Обобщены классические теоремы Каратеодори и Плиша--Дэви. Доказаны новые теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров правой части и их следствия, обобщающие известные результаты классической теории. На основе аксиоматической теории обычных дифференциальных уравнений обобщена теорема о непрерывной зависимости решений от параметров правой части на больший класс дифференциальных уравнений и включений. Введено понятие гомотопии многозначного отображения упорядоченного множества. Изучена проблема сохранения существования неподвижной точки (точки совпадения) при многозначной гомотопии многозначного отображения (пары отображений). Описаны приложения результатов о неподвижных точках в теории игр. Пусть $С$ --- канторово множество. Для каждого $n\ge 3$ построено вложение $A:C\times C\to R$ такое, что все $A(C\times \{s\})$, $s\in C$, являются вложенными попарно неэквивалентными способами всюду дикими канторовыми множествами (обобщенными ожерельями Антуана). С использованием этого вложения для каждого $n\ge 3$ и любого непустого совершенного компакта $X$, вложимого в $R^{n-1}$ описано вложение $A:X\times C\to R^n$ такое, что каждое $A(X\times \{s\})$, $s\in C$, содержит соответствующее множество $A(C\times \{s\})$ и является "хорошим" на дополнении $A(X\times \{s\}) - $A(C\times \{s\})$; в частности, образы $A(X\times \{s\})$, $s\in C$, являются вложенными попарно неэквивалентными способами непересекающимися копиями $X$. Этот результат усиливает теоремы J.R. Stallings (1960), R.B. Sher (1968) и B.L. Brechner–J.C. Mayer (1988). | ||
5 | 1 января 2020 г.-31 декабря 2020 г. | Общая теория топологических пространств, размерности и топологических операций и ее приложения к функциональному анализу и топологической алгебре (2020) |
Результаты этапа: Пусть τ --- несчетный кардинал. Доказано, что если A --- покрытие тихоновского куба I^τ такое, что |A|<=τ, то некоторый элемент a покрытия A не гомеоморфен топологической группе. Для пары (G, X), где G --- топологическая группа и X --- подпространство G, рассмотрены непрерывные отображения f группы G на топологическое пространство Y такие, что f(G)=Y=f(X). Если, вдобавок, X компактно (σ-компактно), то Y называется gc-образом группы G (соответственно gσc-образом G). Например, все диадические компакты являются gc-образами компактных топологических групп. Существенно новыми особенностями этих обобщений являются: предположение компактности и предположение топологической группы полностью разделены, компактность ослаблена до σ-компактности, а первая аксиома счетности заменена требованием G_ \ delta-точек. В частности, в разделе 2 доказывается следующая теорема. Предположим, что G - топологическая группа, X - подпространство Линделёфа Σ в G и f - непрерывное отображение G на пространство Y такое, что f (G) = f (X) = Y. Предположим также, что Z - замкнутое подмножество Y такое, что каждая точка Z является G_ \ delta-точкой в Y. Тогда Z имеет счетную сеть. Следовательно, если при этом Z компактно или p-пространство, то Z сепарабельно и метризуемо. Последнее утверждение обобщается на случай паратопологических групп. Доказана теорема о сохранении существования нулей у параметрического семейства многозначных (α,β)-поисковых функционалов на открытом подмножестве метрического пространства. Получен ряд следствий о сохранении существования прообразов замкнутого подпространства при действии параметрического семейства многозначных отображений, о сохранении существования точек совпадения, общих неподвижных точек конечного набора параметрических семейств отображений. Введено понятие пары многозначных отображений типа Замфиреску, получена теорема о совпадениях такой пары отображений, а также теорема о сохранении существования совпадений у параметрического семейства таких пар отображений. Из полученных результатов вытекают несколько известных теорем. Доказана теорема о сохранении существования нулей при изменении параметра у однопараметрического семейства (α,β)-поисковых функционалов на открытом подмножестве метрического пространства. Представлены следствия из этой теоремы: о сохранении существования прообразов данного замкнутого подпространства у параметрического семейства многозначных отображений метрических пространств, о сохранении существования точек совпадения у конечного набора из двух и более семейств многозначных отображений метрических пространств, о сохранении существования общих неподвижных точек у набора семейств многозначных отображений в себя метрического пространства. В качестве простого частного случая получается теорема М. Фригон и А. Гранаса (1994) о неподвижных точках сжимающего семейства многозначных отображений. Были изучены некоторые свойства так называемых пространств, непрерывно содержащих топологические группы, которые были введены как альтернатива понятию универсальных топологических групп. Исследуются функторы на единичном шаре знакопеременных борелевских мер. Показано, что эти функторы удовлетворяют только трем из семи свойств нормальности, присущих функторам вероятностной меры. Вводится геометрическая техника работы с косооснащенными многообразиями. Она позволяет изучать стабильные гомотопические группы некоторых пространств Тома геометрическими средствами. Схематически описывается как результаты (которые также представляют самостоятельный интерес) могут быть применены для получения доказательства теоремы Баума – Браудера о непогружаемости от P10 до ℝ15. Рассматривается полярное разложение меры Винера по мере квазиинвариантности на группе диффеоморфизмов. |
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".