ИСТИНА

Развитие метода регуляризации на новые классы некорректно-поставленных задач

Разработаны методы регуляризации при аппроксимации значений неограниченных операторов в банаховых пространствах на основе метода Лаврентьева. Показана сходимость предложенной аппроксимации в строгом смысле и получены оценки скорости сходимости. На основе тихоновского подхода создан метод регуляризации при аппроксимации производной проинтегрированной полугруппы. Показано, что дискретная производная сходится сильно. Получены оценки скорости сходимости в банаховом пространстве. Использован ряд аппроксимационных схем, включая метод конечных элементов, конечно-разностные схемы и проекционные схемы. Рассмотрена обратная задача теплопроводности, которая после регуляризации сводится к решению стохастического дифференциального уравнения. Затем стохастическое дифференциальное уравнение аппроксимируется разностным методом; на истокообразных элементах получены оценки скорости сходимости. Все дискретизации проводятся по общей аппроксимационной схеме, включающей в себя как проекционные, так и конечно-разностные методы. Рассмотрена проблема восстановления зашумленных сигналов, трактуемая как задача вычисления значений неограниченного оператора при неточно заданной информации. Получены оценки точности приближений как при сильной, так и слабой аппроксимации входных данных. Исследованы свойства классического и регуляризованного оператора Пуассона, гармонических функций на квадрате, представляемых потенциалом двойного слоя. Получены новые доказательства существования и единственности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа, установлен изоморфизм между плотностями потенциалов, граничными значениями и внутренними свойствами - равномерной непрерывности и ограниченности гармонических функций. Предложен алгоритм оптимизации структуры наблюдений, основаннй на двойственности задач линейной оптимальной фильтрации и управлении детерминированной линейной системой с квадратичым критерием качества. Выполнено обобщение метода регуляризации сдвигом с конечномерного случая на случай операторных уравнений в гильбертовом пространстве. Получен аналог ранговой матрицы для линейных операторов в пространствах типа Гильберта, а также исследована задача разрешимости систем интегральных уравнений типа Гильберта первого и второго рода. В последнем случае разработан алгоритм численного решения дискретного аналога таких систем. Проведены вычислительные эксперименты, основанные на применении дискретного преобразования Фурье. Доказана эффективность алгоритма по вычислительным затратам. Рассмотрена проблема устойчивого вычисления значений неограниченного оператора на приближенных данных. Получены расчетные формулы, доказаны теоремы сходимости и оценки точности при наличии больших шумов в данных. Исследован вопрос аппроксимации функций гельдерова пространства тригонометрическими полиномами по норме этого пространства. Сформулирован признак представления функций пространства Гельдера как предел непрерывно дифференцируемых функций. Доказаны необходимые и достаточные условия сходимости частичных сумм Фейера ряда Фурье функций гельдерова пространства к самой функции. Рассмотрена проблема точного и приближенного решения систем интегральных уравнений Гильберта нейтрального типа. Предложен алгоритм аппроксимации таких уравнений и получена оценка погрешности аппроксимации. Доказана сходимость приближенных решений и получена оценка скорости сходимости к точному решению. При дискретизации сингулярного интегрального уравнения Гильберта получаются системы линейных алгебраических уравнений с циркулянтными матрицами. Для их решения предложены быстрые алгоритмы, основанные на дискретном преобразовании Фурье. Дискретизация уравнений нейтрального типа приводит к линейным системам с матрицами, которые представляются суммами циркулянтных и перцирулярных матриц. Для линейных систем с такими матрицами разработаны быстрые алгоритмы и получены оценки сложности вычислений. На основе анализа свойств перциркулянтных матриц предложены способы решения линейных систем, матрицы которых состоят из циркулянтных и перцирклянтных блоков Найдены необходимые и достаточные условия существования и гладкости неполиномиальных сплайных пространств пятого порядка. Установлена единственность пространства неполиномиальных четырежды непрерывно дифференцируемых сплайнов в классе пространств сплайнов пятого порядка (при условии фиксации рассматриваемой сетки узлов). Предложен определенный класс K-топологически правильных невырожденных триангуляций и класс A соответствующих алгоритмов локального укрупнения триангуляций, при которых укрупненные результаты укрупнения оказываются в классе K; таким образом, они допускают дальнейшее укрупнение с использованием алгоритмов из A. Классы K и A позволяют построить вэйвлетное разложение цепочки вложенных пространств в случае потока числовой информации, естественным образом ассоциированного с двумерным объектом (плоской областью, сферой, тором и т.п.) Рассмотрена структура двухгнездового сплайн-вэйвлетного разложения в случае удаленного расположения элементарных гнезд. Получены алгоритмы декомпозиции и реконструкции, дана оценка величины компонент вэйвлетного потока в случае, когда исходный поток представляет собой последовательность значений гладкой функции на равномерной сетке.