| 1 |
1 января 2019 г.-31 декабря 2019 г. |
Математическое моделирование задач градиентной нелинейной оптики. |
| Результаты этапа: Для задачи прохождения лазерного импульса через границу домена высокого поглощения, индуцированного им в полупроводнике, в 2D и 3D случаях записана математическая модель, состоящая из уравнения Пуассона относительно потенциала индуцированного поля с краевыми условиями второго или третьего рода; уравнения относительно концентрации свободных электронов, уравнения относительно концентрации ионизированных доноров; уравнения относительно комплексной амплитуды светового импульса, учитывающего также вторую производную по продольной координате (координате распространения оптического импульса), которая ответственна за появление отраженной волны от домена высокого поглощения. Для численного решения исходной нелинейной задачи построена консервативная нелинейная разностная схема. Для ее реализации применяется оригинальный многостадийный итерационный метод, который позволяет сделать метод расчета экономичным, асимптотически устойчивым и обладает консервативностью на итерациях. Показана принципиальная ограниченность использования прямых методов (например, дискретного преобразования Фурье) для решения разностного уравнения Пуассона в случае задачи Неймана (или краевых условий третьего рода), входящего в рассматриваемую систему нелинейных уравнений, в силу нарушения условия разрешимости этой задачи. Консервативность разностной схемы для анализируемой нами проблемы играет здесь принципиальную роль, так как она связана с условием разрешимости задачи.
Предложена адекватная математическая модель взаимодействия светового импульса с наночастицами (в частности, золота). Она описывает эффект насыщения энергетических переходов., что позволит, на наш взгляд, более адекватно описать отклик среды по сравнению с имеющимся в литературе подходом. Для компьютерного моделирования записанной системы уравнений в одномерном случае (координаты z, t) построена нелинейная разностная схема, обладающая вторым порядком аппроксимации по пространственной координате и времени. При отсутствии поглощения излучения она является консервативной.
Исследованы инвариантные соотношения линейного уравнения Гинзбурга-Ландау.
Разработан новый метод генерации третьей оптической гармоники в среде с квадратичной нелинейностью на основе каскадной генерации второй гармоники. Возможность реализации кубичной по полю нелинейности (индуцированного кубичного отклика) среды в данных условиях доказана выводом соответствующей системы нелинейных уравнений на основе multi-scale метода. Выяснены характерные особенности полученных уравнений по сравнению с имеющимися в литературе уравнениями, описывающими процесс генерации третьей гармоники в среде с кубичным по полю откликом среды.
Для записанной модифицированной системы трех нелинейных уравнений доказано существование инвариантов: суммы энергии волн и Гамильтониан взаимодействия. Построено аналитическое решение задачи в рамках приближения длинных импульсов, то есть без учета влияния вторых производных по времени. Доказано, что задача обладает единственным решением и определена предельная эффективность преобразования энергии основной волны в энергию второй гармоники. Проведенное компьютерное моделирование подтвердило правильность выведенных уравнений модифицированной системы и полученного аналитического решения задачи.
Построены инварианты для частного случая взаимодействия трех импульсов, обладающих сверхкороткой длительностью, которое описывается системой нелинейных уравнений Шредингера, содержащих производные вплоть до второго порядка по времени от нелинейного отклика среды, а также смешанные производные по времени и координате распространения импульсов.
На сервере Intel Xeon Phi, содержащем основной процессор (хост-процессор) и 4 дополнительных электронных карты, реализованы иллюстрирующие программы, позволяющие проводить параллельные вычисление в среде Windows, используя одновременно технологию OpenMP для многоядерных процессоров и выгрузку частей программ на электронные карты, на которых также используется технология OpenMP.
|
| 2 |
1 января 2020 г.-31 декабря 2020 г. |
Математическое моделирование задач градиентной нелинейной оптики. |
| Результаты этапа: При прохождении лазерного импульса через границу домена высокой концентрации свободных электронов (домена высокого поглощения), индуцированного им в полупроводнике, в 2D и 3D случаях имеет место интерференция падающей и отраженной волн. Продемонстрировано, что при определенных условиях имеет место остановка прохождения лазерного пучка через дальнюю (по отношению к направлению распространения импульса) границу домена высокого поглощения. Этот эффект назван нами эффектом “запирания” прохождения лазерного импульса через полупроводник. При этом возможен частичный захват лазерного импульса передней (по отношению к направлению распространения импульса) границей домена высокого поглощения, которая совпадает передней границей полупроводника. Продемонстрирована принципиальная роль продольной дифракции (дифракция вдоль координаты распространения пучка) оптического пучка. Для этого проведено сравнение результатов моделирования с учетом продольной дифракции пучка и без ее учета. Показано, что продольная дифракция пучка приводит к отражению излучения от индуцированного им градиента характеристики среды.
Постановка краевых условий Неймана для уравнения Пуассона относительно потенциала электрического поля для рассматриваемой системы нелинейных уравнений привело к появлению новых качеств у рассматриваемой задачи, ранее не описанных и не встречаемых в литературе. Они связаны с реализацией численных методов - прямых и итерационных, а также ролью консервативности разностной схемы. В отчетный период рассматривалась 3D постановка задачи. Показано, что в трехмерном случае различие в использовании прямых и итерационных методов только усиливается: несохранение инварианта сильнее влияет на рост ошибки вычислений.
Для численного решения исходной нелинейной 3D задачи построена консервативная нелинейная разностная схема. Для ее реализации применяется оригинальный трехстадийный итерационный метод, который обеспечивает асимптотическую устойчивость разностной схемы (в отличии от схемы, реализованной на основе метода расщепления). и позволяет сделать метод расчета экономичным.
Показана необходимость построения адаптивных искусственных краевых условий для уравнения Шредингера. Эта необходимость обусловлена тем, что оптическое излучение отражается от нелинейной среды, в результате чего его волновое число изменяется по сравнению со значением, заданным в начальный момент времени. Локальное волновое число вычислялось через отношение части второго инварианта, который характеризует направление распространения пучка, уравнения Шредингера к части его первого инварианта. Необходимость использования адаптивного локального волнового числа также доказана на основе численных экспериментов. При этом показано, что необходимость применения адаптивных краевых условий обусловлена влиянием дифракции.
Исследовались задачи нелинейной градиентной оптики, описываемые обощенным уравнения Гинзбурга-Ландау. Одной из таких задач является задача распространения сверхкоротких импульсов в кубично-нелинейной среде. Этот процесс описывается уравнением, содержащем производные по времени от нелинейного отклика среды и смешанные производные по пространству и времени. Для нахождения инвариантов предложено оригинальное преобразование уравнений к виду, не содержащему смешенных производных и производных от нелинейного отклика, за счет введения дополнительных функций. Продемонстрирована необходимость постановки трех краевых условий по временной координате для существования единственного решения, а не двух условий, как это встречалось в литературе. Доказано, что для существования закона сохранения энергии необходимо дополнить постановку задачи спектральным инвариантом. Продемонстрирован физический смысл полученных инвариантов и их предельный переход к известным уравнениям Шредингера.
Используя нелинейное уравнение Шредингера, содержащее временную производную от нелинейного отклика среды, было проведено экспериментальное измерение сечения четырех-фотонного поглощения fused silica. Сравнение результатов эксперимента с теоретическим расчетами, проведенными на основе разрабатываемых нами консервативных разностных схем, показало их высокую эффективность.
Получен инвариант для “классического” линейного уравнения Гинзбурга-Ландау вместо инвариантных соотношений, часть из которых известна в литературе. Для уравнения Гинзбурга-Ландау, содержащего кубичную нелинейность (керровскую нелинейность и двухфотонное поглощение), получен чирпированный similariton (солитон, не изменяющий свою форму, с изменяющимися амплитудой и длительностью).
Исследовано явление самозахвата волн при трехчастотном взаимодействии (взаимодействие трех импульсов), основанного на новом механизме. Он реализуется, в частности, при взаимодействии трех импульсов с эквидистантными частотами: компенсация фазовых решеток на удвоенной частоте, приводящая к отсутствию перекачки энергии между взаимодействующими волнами. При определенных условиях имеет место самозахват импульсов, а также “укручение” фронтов импульса первой и третьей гармоник: они становятся практически вертикальными. Записаны достаточные условия реализации данного режима взаимодействия импульсов. Справедливость этих условий подтверждена компьютерными экспериментами.
Показана устойчивость данного режима распространения связанных импульсов основной волны и третьей гармоники по отношению к возмущению второй волны. Продемонстрирована стабилизирующая роль расстройки волновых чисел между волнами основной частоты и волны второй гармоники, а также принципиальная роль волны второй гармоники несмотря на малое значение ее интенсивности.
Исследован принципиальный вопрос о влиянии неполной консервативности разностных схем на точность расчетов, при компьютерном моделировании взаимодействия нескольких волн в нелинейной среде. Как правило, записать полностью консервативную схему не удается. В связи с этим необходимо выяснить, какая из разностных схем, обладающих консервативностью по одному из инвариантов (инварианту энергии или Гамильтониану), является предпочтительной. Данный вопрос анализировался на примере генерации третьей оптической гармоники.
Были построены две разностные схемы, консервативные по оному из инвариантов (инварианту энергии или Гамильтониану), а второй инвариант сохранялся с вторым порядком по координате, вдоль которой распространяются импульсы. Порядок аппроксимации инвариантов и консервативность по одному из инвариантов доказана теоретически и подтверждена результатами компьютерных экспериментов. Компьютерные эксперименты показали, что разностная схема, консервативная по Гамильтониану (третий инвариант системы) обладает преимуществами перед разностной схемой, консервативной по инварианту энергии, если процессы дисперсии (или/и дифракции) играют заметную роль при распространении импульсов.
Высокая эффективность и точность разностных схем, консервативных по третьему инварианту, продемонстрирована сравнением результатов физических экспериментов по генерации второй гармоники чирпированными импульсами с результатами компьютерного моделирования этого процесса.
На основе метода многих масштабов (multi-scale method) развит метод для построения нелинейно чирпированных солитонов в нелинейно поглощающих средах. Он был применен к задаче распространения светового импульса в среде с многофотонным нелинейным поглощением, а также (возможно) кубичной нелинейностью.
Экспериментально продемонстрирована генерация третьей гармоники импульсом основной волны с длительностью около 700 фемтосекунд при интенсивности падающего импульса на основной частоте меньшей 1 ГВт/см2, что недостаточно для проявления эффектов кубичной нелинейности в рассматриваемых кристаллах. Таким образом, генерация третьей гармоники в описанных условиях наблюдается за счет индуцированной кубичной нелинейности при каскадной генерации второй гармоники.
Исследована модуляционная неустойчивость, развивающая при генерации третьей гармоники на индуцированной кубичной нелинейности в среде с квадратичным нелинейным откликом при каскадной генерации второй гармоники.
На основе теоретического анализа предложен новый метод трехкратного понижения частоты оптического импульса на основе индуцированного кубичного отклика сред при каскадной генерации второй гармоники. Построено аналитическое решение рассматриваемой задачи в приближении длинных импульсов с использованием инвариантов задачи.
Разработаны эффективные алгоритмы распараллеливания на основе технологии OpenMP для компьютерного моделирования нестационарных нелинейных процессов в 2D и 3D пространстве в среде Windows при использовании Intel Parallel Studio XE 2017. Программы написаны на языках Си++ и Фортран. Расчеты проводились на серверах DELL, которые продемонстрировали 10-кратное ускорение выполнения программы на 20 процессорах.
|
| 3 |
1 января 2021 г.-31 декабря 2021 г. |
Математическое моделирование задач градиентной нелинейной оптики. |
| Результаты этапа: Изучен механизм движения доменов высокого поглощения, образующихся в полупроводнике. Их появление обусловлено присутствием нелинейного поглощения при прохождении лазерного импульса через полупроводник, т.е. реализуется сильный градиент коэффициента поглощения, имеющий сложное пространственное распределение. Часть оптического излучения отражается от границы домена, и распространяется в противоположном направлении к направлению распространения падающего излучения, и происходит интерференция этих волн. Важно подчеркнуть, что в исследуемом случае, градиент характеристик среды индуцируется самим падающим излучением (!!!) и на нем же происходит отражение излучения. Как результат интерференции волн, максимальная интенсивность светового импульса достигается в различных пространственных областях вне доменов высокой концентрации свободных носителей заряда. При ее превышении некоторой критической величины рождается домен высокого поглощения в этой области. Учитывая, что его появление приведет к изменению интенсивности в области, расположенной за доменом, то как результат этого изменится форма последующих доменов. В свою очередь, это приведет к изменениям интенсивности на выходе из полупроводниковой структуры. Эволюция изменения интенсивности во времени на выходе из кристалла в некоторой пространственной области пучка, поперечной к направлению его распространения, происходит хаотически для наблюдателя несмотря на детерминированные процессы, происходящие в среде. Причиной этого является существование оптической бистабильности, основанной на нелинейном поглощении световой энергии, и продольной дифракции светового пучка.
Разработаны адаптивные искусственные краевые условия для уравнения 2D нестационарного уравнения Шредингера с учетом изменения проекций локального волнового числа во времени и по пространственным координатам и их включения в искусственные краевые условия по обеим координатам. На основе выполненного компьютерного моделирования продемонстрирована высокая эффективность данных условий. Вычисление локальных волновых чисел проводилось по методике, предложенной и изученной нами ранее.
Показана эквивалентность постановок линейных задач для уравнения Шредингера, содержащих групповую скорость либо не содержащего ее. Этого можно добиться путем преобразования уравнения. Разработанные адаптивные искусственные краевые условия использовались и в случае анализа нелинейного взаимодействия светового импульса с полупроводником и показали их высокую эффективность.
Получены условия устойчивого распространения трех импульсов в среде с комбинированной (квадратичной и кубичной) нелинейностью в режиме их самозахвата в приближении длинных импульсов и плоских волн. Рассмотрены частные случаи: когда один из коэффициентов нелинейности (квадратичной или кубической) равен нулю, и случай малой суммарной интенсивности взаимодействующих волн. Исследовано влияние дисперсии групповых скоростей (коэффициент перед второй производной по времени в уравнении Шредингера) на устойчивость полученного пространственно-однородного решения. Показано, что оно является неустойчивым из-за присутствия линейного чирпа (линейного изменения частоты во времени). Разработан метод нахождения параметров задачи, при котором указанный чирп либо отсутствует, либо незначителен вблизи центров импульсов, что является критичным для развития неустойчивости.
В случае вырожденного трехчастотного взаимодействия (генерации третьей оптической гармоники в среде с кубичным нелинейным откликом) обнаружен режим самозахвата части оптических импульсов: формируется несколько связанных солитонов на обеих частотах, имеющих сложную временную форму и частотную модуляцию, т.е. образуются цветные чирпированные связанные солитоны.
Построен чирпированный солитон и симиляритон (форма импульса остается неизменной, но его амплитуда уменьшается, а длительность увеличивается) для нелинейного уравнения Гинзбурга-Ландау, содержащего кубичную нелинейность: керровскую нелинейность (фазовые решетки) и двухфотонное поглощение (амплитудные решетки) и не содержащее слагаемое, отвечающее за линейный вклад энергии в систему.
Исследовано утроение частоты за счет каскадной генерации второй гармоники в среде с квадратичной нелинейностью при условии самовоздействия волн за счет кубичного отклика среды. Построено аналитическое решение модифицированной задачи, которая получается из исходной системы уравнений при использовании multi-scale метода, в приближении длинных импульсов и плоских волн. Проанализирована множественность решения задачи и показана возможность реализации бистабильного режима утроения частоты. Для данной задачи был разработан более простой (по сравнению с multi-scale методом) метод вывода уравнения относительно комплексных амплитуд волн с утроенной частотой и с основной частотой. Показано, что полученные уравнения совпадают с уравнениями, полученными на основе multi-scale метода.
Предложено использовать каскадные процессы в среде с кубичной восприимчивостью для генерации пятой оптической гармоники. В результате теоретического анализа была показана возможность достижения в этих условиях 50% генерации пятой оптической гармоники в среде с кубичной нелинейной восприимчивостью.
Для численного моделирования нелинейного взаимодействия оптического излучения с полупроводником в 3D случае, реализация консервативной нелинейной разностной схемы осуществлялась с помощью оригинального трехстадийного итерационного процесса, который обеспечивает асимптотическую устойчивость разностной схемы (в отличии от схемы, реализованной на основе метода расщепления). Предложено несколько модификаций организации итерационного процесса и изучены их свойства.
Получен закон изменения интеграла движения для уравнения Гинзбурга-Ландау в случае наличия в уравнении кубичной нелинейности (поглощения и самовоздействия). Существование данного инварианта (или закона изменения) подтверждено компьютерными экспериментами, проведенными на основе построенной нелинейной (в общем случае) консервативной разностной схемы, консервативность которой доказана. Данная разностная схема в случае анализа линейного распространения оптического излучения точно сохраняет построенный инвариант (интеграл движения).
Высокая точность разрабатываемых нами консервативных разностных схем подтверждена при экспериментальном исследовании уширения спектра в постфиламентационном канале фемтосекундных лазерных импульсов с исходной длиной волны 944 нм, 744 нм и 472 нм и компьютерном моделировании этого эффекта.
|
