Новые подходы к разработке алгоритмов решения задач механики сплошных сред для вычислительных систем сверхвысокой производительностиНИР

New approaches to development of algorithms for solving continuum mechanics problems on ultra-high performance computing systems

Соисполнители НИР

ИПМ им. М.В.Келдыша Соисполнитель

Источник финансирования НИР

грант РНФ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 20 апреля 2019 г.-31 декабря 2019 г. Этап 1
Результаты этапа: 1. Разработан 2D алгоритм и компьютерный код для расчета течений вязкого теплопроводного газа на основе гиперболической системы КГД уравнений в компактной форме на структурированных сетках (произвольные 4-угольные ячейки). Алгоритм построен по методу конечного объема. Значения газодинамических величин (консервативные переменные) приписаны к центрам ячеек. Величины из центров переносятся на ребра линейно с использованием ограничителя. Расчет потоков на ребрах производится на основе решения задачи Римана. Векторы регуляризирующих скоростей, входящие в КГД-систему, вычисляются вместе с производными на ребрах ячеек на основе метода Гаусса. Вторые производные по времени аппроксимируются 3-слойными разностными соотношениями. Первые производные по времени аппроксимируются либо с 1-м порядком 2-слойными разностными соотношениями, либо со 2-м порядком центральной разностью. 2. С использованием КГД-алгоритма проведены расчеты обтекания угла сжатия 30 градусов при числе Маха 6. Определена структура основных разрывов течения и областей отрыва. Проведено сравнение с экспериментальными данными ИТПМ им. С. А. Христиановича СО РАН и численными данными по модели уравнений Навье-Стокса. С использованием КГД-алгоритма проведены расчеты движения и взаимодействия разрывов течения в канале, возникающих под действием вложения энергии. Число Маха в основном течении 3. Выявлены области отрыва пограничного слоя на стенках канала. Исследовано развитие неустойчивости контактного разрыва, вызванных вложением энергии в пристенных областях. Проведено сравнение с экспериментальными данными, полученными на физическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Проведено сравнение с численными данными, полученными по моделям уравнений Навье-Стокса и Эйлера. Проведено численное моделирование процессов динамики электропроводной жидкости для сложных систем теплопереноса. Исследование проведено на основе детального математического моделирования на параллельных вычислительных системах высокой производительности на основе кинетически согласованного магнитогазодинамического подхода, адаптированного для такого класса проблем. 3. Проведено исследование симметричных трехслойных с весом и векторных двухслойных по времени методов решения начально-краевой задачи для гиперболического уравнения 2-го порядка с малым параметром при старшей производной по времени, являющегося возмущением соответствующего параболического уравнения. Доказаны теоремы равномерной как по малому параметру, так и по времени устойчивости решений в двух нормах, по отношению к начальным данным и правой части уравнения. Исследован также случай, когда малый параметр стоит и перед эллиптической частью уравнения. Дискретизация по пространству может быть выполнена как разностным методом, так и методом конечных элементов. 4. На примере тестовой задачи Сода (вариант задачи о распаде произвольного разрыва) выполнена верификация КГД-алгоритма в 1-мерной постановке. С целью исследования сходимости расчеты проведены на сетках с 128, 256, 512, 1024 узлами. Рассматривался вариант с достаточно большим числом Рейнольдса (106), что обеспечивает корректность сравнения с аналитическим решением уравнений Эйлера. 5. За отчетный период было проведено исследование диссипативных и дисперсионных свойств балансно–характеристических разностных схем для различных уравнений гиперболического типа. Была построена и исследована новая разностная балансно–характеристическая схема интерполяционного типа. Схема обладает вторым порядком аппроксимации и определена на максимально компактном вычислительном шаблоне. Проведено сравнение со схемой КАБАРЕ. Построены дисперсионные и диссипативные поверхности и показано, что новая схема имеет более хорошие дисперсионные характеристики при малых числах Куранта. Выполнены верификационные расчеты в одномерном случае на уравнении переноса, Хопфа и мелкой воды. Показано, что новая схема не уступает схеме КАБАРЕ, а в некоторых случаях превосходит ее. В случае двух пространственных измерений проведены расчеты задачи о распаде разрыва и распространения начального возмущения в виде гауссиана по неподвижному фону. На первой задача замечено появление небольших осцилляций на разрыве, предположительно из-за процедуры нелинейной коррекции потоков. Главным же достоинством новой схемы является простота ее обобщения на расчетные сетки произвольной топологии. Этот вопрос, а также изучение различных частных случаев будет являться предметом дальнейших исследований. 6. Была исследована возможность использования балансно–характеристических разностных схем для численного решения гиперболизованного уравнения теплопроводности. Было показано, что если параметр гиперболизации пропорционален шагу по времени, то численное решение задачи об эволюции дельтаобразного источника тепла сходится к аналитическому решению на любых отрезках времени с первым порядком по времени. При параметре гиперболизации пропорциональном характерному размеру ячеек пространственной сетки сходимость наблюдается на временах, больших некоторого критического. Величина допустимого шага по времени при этом возрастает и оказывается пропорциональной размеру ячейки в степени три вторых. Применение схемы КАБАРЕ для решения уравнения теплопроводности с параметром гиперболизации порядка шага по времени дает существенную экономию вычислительных ресурсов в расчете газодинамических течений по той же схеме, поскольку в ней используются уже вычисленные геометрические параметры. 7. Помимо схемы КАБАРЕ построены другие экстраполяционные балансно–характеристические разностные схемы, которые допускают обобщение на произвольные типы расчетных сеток, но теряют, при этом, свойство временной обратимости. За отчетный период проведено исследование таких схем для простейшего уравнения переноса, уравнения Хопфа и мелкой воды, как в одномерном, так и в двумерном случае, где были использованы сетки с треугольными ячейками. Были решены тестовые и модельные задачи, в частности задача об устойчивости одиночного вихря и взаимодействия двух вихрей.
2 1 января 2020 г.-31 декабря 2020 г. Этап 2
Результаты этапа: 1. Разработан 3D алгоритм и параллельный компьютерный код на основе гиперболической системы КГД уравнений для расчета течений вязкого теплопроводного газа. Используются сетки, состоящие из неперекрывающихся многогранных ячеек, метод конечных объемов реализуется интегрированием уравнений по каждой счетной ячейке с последующим преобразованием объемных интегралов от потоков в интегралы по граням ячейки. Для расчета потоков на гранях ячеек используется обобщенный метод С.К. Годунова c точным римановским солвером и реконструкцией типа TVD. Дополнительный импульс, возникающий при сглаживании решения КГД-системы на расстоянии порядка длины свободного пробега, вычисляется на основе градиентов скорости, плотности и давления на гранях ячейки. Эти величины определяются интерполяцией значений в соседних ячейках. Для аппроксимации уравнений по времени используется явная трехслойная разностная схема. 2. С использованием разработанного КГД-алгоритма проведены расчеты сверхзвукового обтекания модели треугольного крыла конечного размаха и баллистической модели HB-2 для различных углов атаки вязким теплопроводным газом. Исследована эффективность параллельной реализации алгоритма. Расчеты проводились с использование до 448 вычислительных ядер. Экспериментально определена допустимая величина шага по времени, обеспечивающая устойчивость. Для крыла конечного размаха расчеты проведены для углов атаки 0, 5, 10 градусов при числе Маха 6. Зафиксирован отрыв потока как на подветренной стороне, так и наветренной. Для обтекания баллистической модели рассмотрены углы атаки 0, 8, 16 градусов при числе Маха 3. На поверхности моделей задавались условия как адиабатической стенки, так и изотермической стенки с несколькими значениями температуры. Показано, что образование областей отрыва при увеличении угла атаки существенно изменяет характер распределения теплового потока на поверхности моделей. Определены аэродинамических коэффициенты модели, проведено сравнение с доступными экспериментальными данными (VTI, ONERA, AEDC) и численными данными по модели уравнений Навье-Стокса. 3. Рассмотрена многомерная гиперболическая квазигазодинамическая система дифференциальных уравнений 2-го порядка по времени и пространству, линеаризованная на постоянном решении с произвольной скоростью. Рассмотрение ненулевой фоновой скорости существенно усложняет вид матриц линейной системы, но необходимо во многих прикладных задачах, включая задачи аэродинамики. Для начально-краевой задачи проанализированы неявная трехслойная по времени с весом разностная схема, симметричная по пространственным координатам и времени и неявная двухслойная по времени векторная разностная схема, в которой неизвестными служат как сами искомые функции, так и их первые производные по времени. Обе схемы записаны на произвольной неравномерной прямоугольной сетке по пространству. Они являются трехточечными по каждому пространственному направлению и имеют 2-й порядок аппроксимации в случае равномерной сетки. Симметричность аппроксимации по пространству обусловлена использованием центральных разностных отношений в конвективных слагаемых. Выведено важное свойство преобладания оператора вязких слагаемых (без учета параметра релаксации) над квадратом оператора конвективных слагаемых. С применением энергетического метода доказана равномерная по времени, а также по параметру релаксации и независимо от числа Маха, устойчивость схем по начальным данным и правой части в случае произвольной неравномерной прямоугольной сетки (без каких-либо условий на ее шаги). Этот результат является сеточным аналогом выведенной ранее равномерной по времени устойчивости решений самой линеаризованной системы. 4. Разработан балансно–характеристический алгоритм для нестационарных уравнений динамической теории упругости с учетом эффектов пластичности в лагранжевых переменных для случая двух пространственных измерений. Динамическое уравнение записывается в дивергентной (консервативной) форме. Аппроксимация этих уравнений производится на G-сетках, на которых искомые переменные относятся как к центрам расчетных ячеек, так и к их граням. Для вычисления величин на гранях используется характеристическая форма уравнений. 5. Разработан балансно – характеристический алгоритм для численного решения линейного уравнения переноса на призматических и тетраэдральных сетках. Алгоритм обобщен на систему уравнений, описывающих течения баротропного газа. Выполнены тестовые расчеты. 6. Разработан балансно–характеристический алгоритм для нестационарных задач термоупругости в случае двух пространственных измерений. Отличительной особенностью нового подхода является гиперболизация уравнения теплопроводности, что приводит к естественному сопряжению и унификации алгоритмов для распространения тепла и упруго-пластических деформаций. 7. В рамках разработки единого балансно–характеристического алгоритма для расчетов взаимодействия газового потока с упругими конструкционными элементами без явного выделения границы раздела, разработан балансно – характеристический алгоритм для двумерных уравнений газовой динамики в смешанных эйлерово- лагранжевых переменных. Для бесшовного сопряжения с упругими телами в задачах аэроупругости использованы характеристические граничные условия.
3 1 января 2021 г.-31 декабря 2021 г. Этап 3
Результаты этапа:

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".