ИСТИНА

Краевые задачи для уравнений смешанного типа возникают при математическом моделировании физических процессов трансзвуковой газовой динамики и в теории сопел Лаваля. Большое число работ посвящено модификациям и аналогам известных модельных задач для уравнений Трикоми, Лаврентьева-Бицадзе, задачам Геллерстедта, Франкля и другим. Одним из первых, кто поставил и решил корректную задачу для уравнений смешанного типа был Трикоми, в честь которого названо известное уравнение y u_xx + u_yy=0. Задача Трикоми состоит в том, чтобы найти регулярное решение этого уравнения, когда заданы условия первого рода на границе области эллиптичности и на одной из характеристик. Кроме того, Трикоми была сформулирована существенно более сложная задача “задача с отходом от характеристики”, в которой носителем данных является не вся характеристика, а только ее часть. Геллерстедт в своей докторской диссертации 1935 года поставил новые задачи для уравнения Трикоми, которые называются теперь задачами Геллерстедта. В монографии С. А. Чаплыгина “О газовых струях”, написанную им в 1909 г., но получившую признание после 1945 г, дается описание физических процессов, приводящих к краевым задачам для уравнений смешанного типа. Новым толчком к изучению задач смешанного типа и уравнений, вырождающихся на границе области послужила статья М. В. Келдыша, опубликованная в 1951 г., в которой он показал, что задача Дирихле для вырождающихся на границе области уравнений, вообще говоря, некорректно поставлена. Подробные результаты об уравнениях, вырождающихся на границе и об уравнениях смешанного типа, можно найти в книгах М. М. Смирнова (1966, 1970, 1985 гг.) и книге А. В. Бицадзе “Некоторые классы уравнений в частных производных” (1981 г.) , а также в монографии О. И. Маричева, А. А. Килбаса, О. А. Репина “Краевые задачи для уравнений в частных производных с разрывными коэффициентами” (2006 г.). Ф. И. Франкль обнаружил ряд важных приложений уравнений смешанного типа к задачам трансзвуковой газовой динамики и теории сопел Лаваля. Им была поставлена новая задача, известная теперь, как задача Франкля. Следующим этапом развития теории краевых задач для уравнений смешанного типа стало рассмотрение уравнение Лаврентьева-Бицадзе со спектральным параметром, входящим в уравнение: u_xx+ (sgn y)u_yy + /lambda^2 u = 0. Большой интерес представляет изучение системы собственных функций данной задачи, исследование свойств полноты этой системы. Аналогичным образом изучается задача Трикоми со спектральным параметром. Важнейшим является вопрос разрешимости задач Трикоми и Геллерстедта для уравнения Лаврентьева–Бицадзе, а также для уравнения Трикоми и вырождающихся уравнений, а также представление решений этих уравнений в виде биортогональных рядов. Задачи со смешанными краевыми условиями возникают при рассмотрении нелокальных краевых задач типа Бицадзе–Самарского или при сведении нелокальной задачи Геллерстедта к двум локальным задачам. В настоящее время вопрос о разрешимости краевых задач для уравнений смешанного типа со смешанными краевыми условиями в эллиптической части области практически не был исследован. Настоящее исследование будет посвящено изучению этой проблемы в случае граничных условий Неймана. Кроме упомянутых ученых, в настоящее время развитием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимаются следующие математики: В. Н. Врагов, Т. Д. Джураев, В. Н. Диденко, В. И. Жегалов , А. Н. Зарубин , Т. Ш. Кальменов, Г. Д. Каратопраклиев, Н. Ю. Капустин, И. Л. Кароль, А. Г. Кузьмин, О. А. Ладыженская, А. М. Нахушев, О. А. Репин, С. П. Пулькин , К. Б. Сабитов, М. С. Салахитдинов, А. П. Солдатов, Н. И. Попиванов, А. А. Полосин, А. В. Псху, Р. С. Хайлурин.

Boundary value problems for equations of mixed type occur in the mathematical modeling of physical processes transonic gas dynamics and the theory of the Laval nozzle. A large number of works devoted to modifications and analogs known model problems for the Tricomi equation, Lavrentiev-Bitsadze, Gellerstedt problem, Frankl problem and others. One of the first who decided to put the correct problem for mixed-type equations was Tricomi, who was named in honor of the well-known equation sgn (y) u_xx + u_yy = 0. Tricomi problem is to find a regular solution of the equation when given the conditions of the first kind on the border region of ellipticity and one of the characteristics. Furthermore, Tricomi formulated essentially more complex task "problem with deviation from the characteristic" in which the data carrier is not characteristic of all, but only part of it. Gellerstedt in his doctoral dissertation in 1935 set new tasks for the Tricomi equation, which is now called Gellerstedt problem. In his book "On gas jets" Chaplygin wrote in 1909, but gained recognition after 1945, describes the physical processes that lead to boundary value problems for equations of mixed type. A new impetus to the study of problems of mixed type and equations degenerating on the boundary of an article Keldysh, published in 1951, in which he showed that the Dirichlet problem for degenerate on the boundary of the equations, generally speaking, incorrectly set. Detailed results of the equations degenerating on the boundary, and the equations of the mixed type, can be found in the books of M. Smirnov (1966, 1970, 1985), And the book Bitsadze, "Some classes of partial differential equations" (1981), as well as in the monograph Maricheva, Kilbas, Repin "Boundary problems for partial differential equations with discontinuous coefficients" (2006). Frankl found a number of important applications of mixed-type equations to problems of transonic gas dynamics and the theory of the Laval nozzle. They were new challenge, now known as the problem of Frankl. The next stage of development of the theory of boundary value problems for equations of mixed type was to consider the Lavrent'ev-Bitsadze equation with spectral parameters entering into the equation: u_xx + (sgn y) u_yy + / lambda ^ 2 u = 0. Of great interest is the study of the system of eigenfunctions of this problem, the study properties of completeness of the system. Similarly, the study of the Tricomi problem with a spectral parameter. The most important is the question of the solvability of problems and Tricomi Gellerstedta for the Lavrent'ev-Bitsadze, as well as for the Tricomi equation and degenerate equations and representation of the solutions of these equations in the form of bi-orthogonal series. Problems with mixed boundary conditions arise in the consideration of nonlocal boundary value problems of Bitsadze-Samara or reducing non-local Gellerstedt problem to two local problems. Currently, the question of the solvability of boundary value problems for mixed type equations with mixed boundary conditions in the elliptic part of the region is almost not been investigated.

Будет проведено исследование разрешимости краевой задачи для гармонической функции в круговом секторе, в случае, когда на дуге сектора задано условие Неймана, а на радиусах сектора наклонные производные равны нулю. Решения поставленной задачи будут выписаны в виде биортогональных рядов и интегралов типа Коши. Полученные представления будут сопоставлены с известной интегральной формулой А. В. Бицадзе. Полученные результаты могут быть обобщены на области другой формы, в случае если область является образом конформного отображения кругового сектора. Будет впервые изучена разрешимость двух задач Неймана-Трикоми со смешанными краевыми условиями: на одной части границы эллиптической области будет задано краевое условие второго рода, а на другой — наклонная производная. Будет исследована разрешимость этих задач в зависимости от угла наклона производной. Аналогичным образом будет исследована разрешимость сопряженной задачи Трикоми, решения поставленных задач будут выписаны в виде биортогональных рядов. Впервые будут изучены задачи Трикоми со смешанными краевыми условиями и с условием склеивания Франкля на линии изменения типа уравнения. В зависимости от значения параметра склеивания и угла наклона производной будут исследованы на разрешимость однородная и неоднородная задачи. При исследовании поставленных задач планируется получить интегральные представления в виде интегралов типа Коши. Будут впервые изучены задачи Неймана-Геллерстедта с условиями склеивания Франкля на линии изменения типа уравнения Лаврентьева–Бицадзе. В зависимости от значений параметров склеивания поставленные задачи будут исследованы на разрешимость. Для решений этих задач планируется получить интегральные представления в виде интегралов типа Коши.

Краевые задачи для уравнений смешанного типа возникают при математическом моделировании физических процессов трансзвуковой газовой динамики и в теории сопел Лаваля. Большое число работ посвящено модификациям и аналогам известных модельных задач для уравнений Трикоми, Лаврентьева-Бицадзе, задачам Геллерстедта, Франкля и другим. Одним из первых, кто поставил и решил корректную задачу для уравнений смешанного типа был Трикоми, в честь которого названо известное уравнение y u_xx + u_yy=0. Задача Трикоми состоит в том, чтобы найти регулярное решение этого уравнения, когда заданы условия первого рода на границе области эллиптичности и на одной из характеристик. Кроме того, Трикоми была сформулирована существенно более сложная задача “задача с отходом от характеристики”, в которой носителем данных является не вся характеристика, а только ее часть. Подробные результаты об уравнениях, вырождающихся на границе и об уравнениях смешанного типа, можно найти в книгах М. М. Смирнова и книге А. В. Бицадзе “Некоторые классы уравнений в частных производных”. Ф. И. Франкль обнаружил ряд важных приложений уравнений смешанного типа к задачам трансзвуковой газовой динамики и теории сопел Лаваля. Следующим этапом развития теории краевых задач для уравнений смешанного типа стало рассмотрение уравнение Лаврентьева-Бицадзе со спектральным параметром, входящим в уравнение: u_xx+ (sgn y)u_yy + /lambda^2 u = 0. Большой интерес представляет изучение системы собственных функций данной задачи, исследование свойств полноты этой системы. Важнейшим является вопрос разрешимости задач Трикоми и Геллерстедта для уравнения Лаврентьева–Бицадзе, а также для уравнения Трикоми и вырождающихся уравнений, а также представление решений этих уравнений в виде биортогональных рядов. Задачи со смешанными краевыми условиями возникают при рассмотрении нелокальных краевых задач типа Бицадзе–Самарского или при сведении нелокальной задачи Геллерстедта к двум локальным задачам.

В ходе выполнения проекта были исследованы неклассические постановки задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Особое внимание было уделено случаям однозначной разрешимости этих задач и случаям, когда однозначная разрешимость нарушается. При исследовании этих задач была применена формула среднего значения для гармонической функции. Для модельного случая , когда кривая, ограничивающая область эллиптичности для уравнения смешанного типа, представляет собой полуокружность, выписаны интегральные представления, как в эллиптической, так и в гиперболической части области. Получено изящное представление решения классической задачи Геллерстедта. Исследовалось также на однозначную разрешимость задача Неймана-Трикоми. Была изучена задача Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Это известная краевая задача для уравнения смешанного типа в области специального вида: область эллиптичности расположена в верхней полуплоскости и ограничена гладкой Жордановой кривой (в модельных случаях можно рассматривать полукруг единичного радиуса с центром в начале координат), не пересекающей ось абсцисс, а область гиперболичности – треугольники в нижней полуплоскости. Новизна изученной в рамках проекта задачи состояла в том, что решения на линии изменения типа уравнения склеиваются специальным образом: задано условие Франкля равенства градиентов решения. Условия такого типа можно найти, например, в монографии М.М. Смирнова «Уравнения смешанного типа», в рамках проекта нами были рассмотрены условия с двумя параметрами: k и каппа. В случае, когда оба параметра равны между собой и равны единице, поставленная задача переходит в классическую задачу Геллерстедта. На границе области эллиптичности задана некоторая гельдерова функция. Отдельно были рассмотрены случаи, когда однородные условия задаются на внешних характеристиках в гиперболической части области и на внутренних характеристиках. Таким образом, в ходе выполнения проекта были рассмотрены внешняя задача Геллерстедта и внутренняя задача Геллерстедта. Естественным образом возникает вопрос о разрешимости этих неклассических задач. Для доказательства единственности решения поставленной задачи можно предположить существование двух различных решений, тогда их разность будет решением задачи Геллерстедта с однородными граничными условиями, саму эту задачу удобно переписать, перейдя в полярную систему координат. Исследуя данную задачу отдельно в области эллиптичности, мы воспользовались тем фактом, что гармоническая функция не может достигать экстремума на участках границы, для задана наклонная производная с постоянным углом наклона. Данный факт доказан и использовался, например, в книге А.В. Бицадзе «Некоторые классы уравнений в частных производных». Далее к решению задачи можно применить формулу среднего значения для гармонической функции, которая была впервые получена в статье грантополучателя (Моисеев Т.Е. Формула среднего значения для гармонической функции в круговом секторе // Докл.РАН. 2010. Т. 432. № 5. С. 592–593.) Используя это представление, можно сделать вывод о том, что при определенном соотношении параметров разность решений может быть только нулем, а значит решение исходной задачи – единственным. Полученный результат полностью согласуется с известным фактом о единственности классической задачи Геллерстедта, т.е. при единичных значениях параметров исходной задачи. Далее, используя полученное грантополучателем ранее представление решения краевой задачи для уравнения смешанного типа (Моисеев Т.Е. Эффективное интегральное представление одной краевой задачи со смешанными краевыми условиями // Докл. РАН. 2012. Т. 444. № 2. С. 150–152.) и применяя его для неоднородной задачи Геллерстедта, решение поставленной задачи было записано в виде интеграла типа Коши для различных случаев соотношения параметров k и карппа. Были доказаны теоремы о существовании и единственности решения поставленной задачи в разных сулчаях, причем в каждом из них решение было предъявлено в явном аналитическом виде, как в области гиперболичности, так и в области эллиптичности. В частности, полученные теоремы и представления будут справедливы и для классической задача Геллерстедта. Была также изучена задача Неймана-Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. В гиперболической части области на одной из характеристик задана функция. Эллиптическая часть представляет собой полуполосу, на границе которой заданы нормальные производные, равные нулю, а на лини изменения типа уравнения задано условие типа Франкля. Поставленная задача моделирует процессы из газовой динамики, на что указывал А.В. Бицадзе в монографии «Некоторые классы уравнений в частных производных» в случае, когда градиент решения на линии изменения типа непрерывен. На основании интегрального представления решения задачи Неймана-Трикоми, полученного грантополучателем, удалось с помощью спектрального метода доказать существование и единственность решения задачи Неймана-Трикоми и получить в явном аналитическим виде решение этой задачи. Кроме того, было получено интегральное представление решения задачи Неймана-Трикоми в виде интеграла типа Коши, когда на линии изменения типа градиент решения не является непрерывным а подчиняется условию типа Франкля. Полученные за отчетный период результаты докладывались на международных научных конференциях и были опубликованы в виде двух статей в научных изданиях из списка ВАК. Было исследовано решение задачи Коши со спектральным параметром при старшей производной. При различных значениях параметра изучены вопросы разрешимости, а также доказаны теоремы, касающиеся поведения решений. В частности, показано, что в случае, когда спектральный параметр равен нулю, то решения обеих задач при определенных ограничениях будут стремится в некоторой норме к нулю. Проводилось исследование разрешимости краевых задач для уравнений смешанного типа (задач типа Геллерстедта) в случае, когда, граничные условия задаются на внутренних характеристиках и на параллельных характеристиках. Доказаны теоремы об условиях существования и единственности решений. Была рассмотрена серия краевых задач, определенных дифференциальным уравнением n-го порядка с комплекснозначными коэффициентами из класса интегрируемых по Лебегу функций, с n линейно независимыми двухточечными однородными краевыми условиями. Задачи такого рода интенсивно исследовались последние сто лет, начиная с работ Г. Биркгофа, который впервые ввёл понятие регулярных краевых условий и изучил спектральные свойства этих задач. В работах Н.И.Ионкина было показано, что система корневых функций для задачи специального вида второго порядка (задача Самарского-Ионкина),что система корневых функций этой задачи содержит бесконечно много присоединённых функций. В последние годы широкое распространение получило исследование спектральных задач с нелокальными краевыми условиями или условиями типа Бицадзе–Самарского, отличными от двухточечных условий. Для таких задач также вводилось понятие регулярности, изучались свойства спектра, характеристического определителя, функции Грина, полнота и базисность системы собственных и присоединённых функций. Систематическое исследование двухточечных задач с краевыми условиями, не являющимися регулярными, начато М. Стоуном, который рассмотрел краевые задачи для уравнений второго порядка с граничными условиями специального вида и построил их классификацию в зависимости от свойств характеристического определителя. Так по Стоуну задачи делятся на нерегулярные первого типа и нерегулярные типа более высокого порядка, в дальнейшем эти задачи в литературе стали называть нерегулярными и вырожденными соответственно. Результаты Стоуна обобщались многими авторами на операторы произвольного порядка n, в результате был выделен класс задач, названных регулярными по Стоуну. Согласно определению этого класса, в частности, нерегулярные задачи типа M >= 1 являются регулярными по Стоуну. В более общем случае, когда коэффициенты дифференциального выражения и краевых условий могут зависеть от спектрального параметра, было введено определение почти регулярной краевой задачи порядка p >= 0, при этом при p = 0 почти регулярные задачи являются регулярными по Биркгофу, а при p > 0 – регулярными по Стоуну. Было установлено, что спектр почти регулярной краевой задачи состоит из изолированных собственных значений конечной кратности и для функции Грина указанной задачи порядка p при любом в некоторой области специального вида можно получить оценку. Кроме того, в некоторых работах почти регулярная (регулярная по Стоуну) задача определялась исходя из свойств характеристического определителя. В обзоре Фрейлинга 2010 года предложено иное определение, а именно задача названа регулярной по Стоуну порядка p, если для её функции Грина имеет место некоторая оценка. В ходе исследования по проекту было проведено исследование устойчивости задач указанного типа и установлено, что последнее определение неэквивалентно предыдущим, так как охватывает более широкий класс краевых задач. Для построения соответствующего примера был рассмотрен аналог задачи на отрезке с двухточечными однородными граничными условиями. одной из целей исследования было доказательство существования такого потенциала q(x) из класса дважды интегрируемых на отрезке функций, для которого поставленная модельная задача не является почти регулярной в смысле определения А.А. Шкаликова, но её функция Грина удовлетворяет неравенству, которое дает оценку ее функции Грина, при некотором p. Было получено специальное представление для характеристического уравнения поставленной задачи, которое позволило получить специальные оценки для решений задачи. Было установлено существование потенциала из класса дважды интегрируемых функций, для которого можно записать соответствующий определитель задачи в аналогичной форме. Таким образом размерности корневых подпространств поставленной задачи с этим потенциалом бесконечно растут, а система корневых функций содержит присоединённые функции сколь угодно высокого порядка. Отсюда следует, что построенная выше краевая задача не является почти регулярной в смысле определения А.А Шкаликова, так как из асимптотических формул для собственных значений почти регулярных задач, установленных в его работе, вытекает, что кратности собственных значений почти регулярной задачи ограничены одной и той же постоянной. В ходе выполнения проекта были исследованы неклассические постановки задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Особое внимание было уделено случаям однозначной разрешимости этих задач и случаям, когда однозначная разрешимость нарушается.