ИСТИНА

Изучение краевых и спектральных задач для дифференциальных уравнений в частных производных, в частности, уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными, относящихся к эллиптическому или смешанному (эллиптико-гиперболическому, параболо-гиперболическому) типу, является одним из классических направлений в математической физике. В рамках работы над проектом планируется изучить задачу на собственные значения и собственные функции для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с наклонной линией изменения типа уравнения. Такие задачи ранее не изучались, поэтому результаты в этом направлении будут новыми. Ранее изучалась такая задача с линией изменения типа уравнения, совпадающей с осью координат. Кроме того, планируется доказать полноту и базисность собственных функций в эллиптической части области. Ранее были результаты по полноте и базисности собственных функций в случае, когда линия изменения типа уравнения совпадает с осью координат. Также планируется изучить нелокальную краевую задачу для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в трехмерной цилиндрической области с произвольным основанием. Такие краевые задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе изучены мало. Предполагается сформулировать нелокальную краевую задачу для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в трехмерной цилиндрической области, которая имеет единственное устойчивое решение. При математическом моделировании процессов теплообмена в объектах, расположенных на границе сред с разной теплоемкостью, возникают неклассические спектральные задачи для уравнений параболического и параболо-гиперболического типа, содержащие спектральные параметры в граничных условиях. Примером может служить работа резисторных температурных датчиков, применяемых для сбора информации в промышленных роботах: она основана на зависимости электрического сопротивления от температуры. При математическом моделировании процессов распространения тепла в датчике необходимо учитывать влияние внешней среды. В рамках работы над проектом предполагается изучить классическую и обобщенную разрешимость краевых задач для неоднородных параболо-гиперболических уравнений с переменными коэффициентами, а также задач со спектральным параметром в граничных условиях для оператора Лапласа в круге и в прямоугольнике. Будут рассмотрены краевые задачи с граничными условиями первого, второго и третьего рода на нехарактеристическом участке границы в области параболичности для неоднородных параболо-гиперболических уравнений. В случае, когда параболический оператор содержит коэффициенты, зависящие только от пространственной переменной, изучение будет проводиться спектральным методом. На нехарактеристическом участке линии изменения типа уравнения будут рассмотрены различные случаи склеивания нормальных производных решения. Будет рассмотрена задача для оператора Лапласа в прямоугольнике со спектральным параметром при нормальной производной в граничном условии на одной из сторон прямоугольника. Будет рассмотрена задача для оператора Лапласа в круге со спектральным параметром и комплексным физическим параметром в граничном условии. Для краевых задач для параболо-гиперболических уравнений будут доказаны теоремы существования и единственности классических и обобщенных решений. Будут изучены априорные оценки решений методом энергетических неравенств и спектральным методом. В случае применимости спектрального метода построения решений будет изучена гладкость обобщенных решений и доказаны точные априорные оценки в пространствах Lp и C. Для задачи для оператора Лапласа в прямоугольнике со спектральным параметром в граничном условии будут выделены полные и минимальные подсистемы из системы собственных функций. Для таких подсистем будет доказана либо базисность в L2, либо ее отсутствие. Будут найдены необходимые и достаточные условия равномерной сходимости спектральных разложений по выделенному базису. Для задачи для оператора Лапласа в круге со спектральным параметром и комплексным физическим параметром будет выписано трансцендентное уравнение для кратных корней. При появлении кратного корня будет доказана базисность всей системы собственных функций в специальном весовом пространстве. Важную роль в исследовании краевых задач для уравнений смешанного типа играет метод интегральных уравнений, когда вопросы разрешимости исходной задачи сводятся к вопросам существования и единственности решения некоторого интегрального (иногда – интегро-дифференциального) уравнения или системы уравнений и наличия у соответствующих интегральных операторов определенных свойств (фредгольмовость, нетеровость). В теории краевых задач для уравнений смешанного типа этот метод восходит к Ф. Трикоми и активно развивался в работах М.А. Лаврентьева, А.В. Бицадзе, М.М. Смирнова, Е.И. Моисеева, А.П. Солдатова, О.Н. Репина, Н. Попиванова и многих других авторов как у нас в стране, так и за рубежом. В рамках работы над проектом предполагается продолжить изучение интегральных операторов и уравнений, играющих ключевую роль в изучаемой тематике. В частности, предполагается изучить уравнение с сингулярным интегральным оператором с некарлемановским сдвигом, заданным на конечном отрезке. Отметим, что в модельных случаях возможен переход к задаче сопряжения Римана с осциллирующим коэффициентом, факторизация которого стандартными методами невозможна; для исследования разрешимости приходится привлекать дополнительные соображения, связанные с возможностью аналитического продолжения в верхнюю или нижнюю комплексную полуплоскость. Кроме того, предполагается изучить некоторые интегральные операторы типа свертки, заданные на конечном отрезке, путем сведения к матричной задаче сопряжения Римана. Задачи граничного управления системами, описываемыми гиперболическими уравнениями, приобрели большую актуальность в связи с различными физическими и технологическими процессами. Традиционно рассматривают граничные условия первого и второго типов, но в последние годы возрос интерес к задачам с граничным условием, содержащим наклонную производную, в частности в связи с моделированием динамики бурового стержня при нефтедобыче (C. Sagert, F. Di Meglio, M. Krstic, P. Rouchon, “Backstepping and flatness approaches for stabilization of the stick-slip phenomenon for drilling,” IFAC Symposium on System Structure and Control, Grenoble, France, 2013). В серии работ В.А.Ильина и Е.И.Моисеева 2005-2007 годов был предложен принципиально новый подход к изучению задач граничного управления, связанный с изучением соответствующих начально-краевых задач в смысле обобщенного решения и последующей оптимизацией найденных решений в смысле минимизации граничной энергии. Разработанные методы позволили получать решения в явном аналитическом виде для относительно больших промежутков времени наблюдения системы. В ходе выполнения проекта планируется развить указанную теорию на случай задач с граничным условием типа торможения (математической моделью которого является наклонная производная в граничном условии), что позволит впервые получить в явном аналитическом виде формулы для решений приведенных задач. Вызывают интерес критические случаи, когда наклонная производная в граничном условии принимает значение, по модулю равное единице. В большинстве современных работ данный случай не рассматривается, но отмечается, что в такой постановке задачи управления неразрешимы. Физической интерпретацией данного явления может быть проскальзывание. При выполнении проекта данный вопрос тоже планируется затронуть. У коллектива уже имеется задел по поставленной проблематике: были изучены случаи управления первого рода при режиме торможения на другом конце. С уверенностью можно утверждать, что, используя ту же технику, можно будет решить и задачи управления условием второго рода, а также более сложные случаи управления, когда сама функция граничного управления содержит наклонную производную. По сравнению со случаем управления первого рода, задачи качественно усложняются, поэтому ожидаемые результаты представляют большой интерес. Кроме того, планируется найти необходимые и достаточные условия корректности задачи управления колебаниями струны при времени меньше критического. Ранее такие условия были получены В.А. Ильиным в 2000 году. Планируется получить необходимые и достаточные условия в другой – геометрической – форме. Это позволит распространить результаты на случай телеграфного уравнения.

Exploring of boundary value and spectral problems for PDE’s, in particular, for the elliptic or mixed type (elliptic-hyperbolic, parabolic-hyperbolic) equations of the second order with two independent variables, is one of the classical directions in mathematical physics. When implementing the project, we plan to explore the eigenvalue and eigenfunction problem for the Lavrentyev-Bitsadze equation with an inclined line of type change. Such problems weren't studied earlier therefore the results in this direction will be new. Earlier such problem with the line of type change which was the coordinate axis was explored. Moreover, we plan to prove the completeness and the basis property of eigenfunctions in the elliptic subdomain. Earlier results were obtained on the completeness and the basis property of eigenfunctions in the case when the line of type change was the coordinate axis. We also plan to explore a non-local boundary value problem for the Lavrentyev-Bitsadze equation in a three-dimensional cylindrical domain with an arbitrary base. Such problems for the Lavrentyev-Bitsadze equation are poorly explored. We suppose to pose a boundary value problem for the Lavrentyev-Bitsadze equation in a three-dimensional cylindrical domain which has the unique steady solution. At mathematical modeling for processes of heat exchange in the objects located between the environments with different thermal capacity there arise non-classical spectral problems for equations of parabolic and parabolic-hyperbolic type with spectral parameters in the boundary conditions. An example is delivered by operation of resistor temperature sensors used to collect information in industrial robots: it is based on the dependence of electric resistance on temperature. At mathematical modeling of heat distribution processes in the sensor we have to consider the environment influence. When implementing the project, we plan to explore the classical and generalized solvability of boundary value problems for inhomogeneous parabolic-hyperbolic equations with variable coefficients, and also problems with spectral parameter in the boundary conditions for the Laplace operator in a circle and a rectangle. We will study boundary value problems with boundary conditions of the first, second and third kind on a non-characteristic part of the boundary in the parabolic subdomain for inhomogeneous parabolic-hyperbolic equations. In the case when the parabolic operator contains coefficients which depend on a spatial variable only, we will use the spectral method. We will consider various cases of normal derivatives sticking on the non-characteristic part of the type change line. We will consider the problem for the Laplace operator in a rectangle with the spectral parameter in the normal derivative in the boundary condition on one of the rectangle sides. We will consider the problem for the Laplace operator in a circle with the spectral parameter and the complex physical parameter in the boundary condition. For boundary value problems for parabolic-hyperbolic equations, we will prove theorems on classical and generalized solutions existence and uniqueness. Using energy inequalities and spectral methods, we will explore a priori estimates of solutions. When the spectral method is applicable, we will study smoothness of generalized solutions and prove exact a priori estimates in spaces Lp and C. For the problem for the Laplace operator in a rectangle with the spectral parameter in the boundary condition, we will isolate complete and minimal subsystems in the eigenfunction system. For such subsystems, we will prove either the basis property in L2 or its absence. We will find necessary and sufficient conditions for uniform convergence of the spectral expansions by the isolated basis. For the problem for the Laplace operator in a circle with the spectral parameter and the complex physical parameter, we will write out the transcendent equation on multiple roots. When a multiple root appears, we will prove the basis property for the entire eigenfunction system in a special weighted space. The integral equations method plays an important role in exploring boundary value problems for the mixed type equations: the original problem is reduced to an integral (sometimes – integral-differential) equation or system of equations, and one has to explore whether the corresponding integral operators are Fredholm or Noether operators. In the theory of boundary value problems for the mixed type equations this method goes back to F. Tricomi and was actively developed by M.A. Lavrentyev, A.V. Bitsadze, M.M. Smirnov, E.I. Moiseev, A.P. Soldatov, O. N. Repin, N. Popivanov and many others both in this country and abroad. When implementing the project, we will continue exploring the integral operators and equations playing a key role in the subject. In particular, we suppose to study the equation with the singular integral operator with the non-Carleman shift which is set on a finite segment. Note that in model cases we may transfer to the Riemann conjugation problem with an oscillating coefficient which may not be factored by standard methods; to explore its solvability, we have to involve additional reasons based on a possibility of analytical continuation into the upper or lower complex semi-plane. Besides, we suppose to explore some integral convolution type operators set on a finite segment by reducing to a matrix Riemann conjugation problem. Boundary control problems for the systems described by hyperbolic equations became significantly relevant due to their relation to various physical and technological processes. Traditionally, the boundary conditions of the first and second kind are considered, but in recent years there increased the interest to the problems with the boundary condition with an inclined derivative, in particular, in relation with modeling of the boring core dynamics at oil production (C. Sagert, F. Di Meglio, M. Krstic, P. Rouchon, “Backstepping and flatness approaches for stabilization of the stick-slip phenomenon for drilling,” IFAC Symposium on System Structure and Control, Grenoble, France, 2013). In a series of papers of 2005-2007 V.A. Ilyin and E.I. Moiseev suggested an essentially new approach to exploring the boundary control problems which was based on studying the corresponding initial boundary value problems in the sense of generalized solution and subsequent optimizing of the obtained solutions in the sense of boundary energy minimization. The developed methods yielded explicit analytical solutions for relatively large periods of system supervision. When implementing the project, we plan to develop the specified theory for the problems with a braking type boundary condition (which is mathematically modeled by the inclined derivative in a boundary conditions). This will allow us to obtain for the first time the explicit analytical formulas for solutions of the given problems. Critical cases when the inclined derivative in the boundary condition is unitary by its absolute value are of special interest. In the majority of modern papers this case is omitted, but it is noted that the control problems in such statement are unsolvable. Slipping may be physical interpretation of this phenomenon. When implementing the project, we plan to consider this case, too. The team already has a reserve on the discussed perspective: the cases of the first kind control with the braking mode on the other end have been explored. With confidence we may claim that, using the same technique, we will also solve the control problems with the condition of the second kind, and also more difficult cases of control when the boundary control function itself contains an inclined derivative. In comparison to the first kind control, the problem becomes qualitatively complicated, therefore the expected results are of great interest. Besides, we plan to find necessary and sufficient conditions of the correctness for the string oscillation control problem at the time less than critical. Earlier such conditions were obtained by V.A. Ilyin in 2000. We plan to write out the necessary and sufficient conditions in another – geometrical – form. It will allow us to extend results to the case of the telegraph equation.

Будет изучена задача на собственные значения и собственные функции для уравнения Лаврентьева-Бицадзе с наклонной линией изменения типа уравнения. Будут доказаны полнота и базисность собственных функций в эллиптической части области. Будет изучена нелокальная краевая задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в трехмерной цилиндрической области с произвольным основанием. Будут рассмотрены краевые задачи с граничными условиями первого, второго и третьего рода на нехарактеристическом участке границы в области параболичности для неоднородных параболо-гиперболических уравнений. На нехарактеристическом участке линии изменения типа уравнения будут рассмотрены различные случае склеивания нормальных производных решения. Будет рассмотрена задача для оператора Лапласа в прямоугольнике со спектральным параметром при нормальной производной в граничном условии на одной из сторон прямоугольника. Будет рассмотрена задача для оператора Лапласа в круге со спектральным параметром и комплексным физическим параметром в граничном условии. Для краевых задач для параболо-гиперболических уравнений будут доказаны теоремы существования и единственности классических и обобщенных решений. Будут изучены априорные оценки решений. Будет изучена гладкость обобщенных решений и доказаны точные априорные оценки в пространствах Lp и C. Для задачи для оператора Лапласа в прямоугольнике со спектральным параметром в граничном условии будут выделены полные и минимальные подсистемы из системы собственных функций. Для таких подсистем будет доказана либо базисность в L2, либо ее отсутствие. Будут найдены необходимые и достаточные условия равномерной сходимости спектральных разложений по выделенному базису. Для задачи для оператора Лапласа в круге со спектральным параметром и комплексным физическим параметром будет выписано трансцендентное уравнение для кратных корней. При появлении кратного корня будет доказана базисность всей системы собственных функций в специальном весовом пространстве. Будут сформулированы условия однозначной разрешимости сингулярного интегрального уравнения с некарлемановским сдвигом в соответствующем функциональном классе. Будет выделен класс сингулярных интегральных уравнений с некарлемановским сдвигом, решаемых в квадратурах, и построен пример решения такого уравнения в квадратурах. Будет исследована нетеровость общих сингулярных интегральных операторов с некарлемановским сдвигом в различных функциональных классах. Будут изучены асимптотика собственных значений и поведение корневых функций модельного интегрального оператора типа свертки, заданного на конечном отрезке. Будет получено решение задачи управления с граничным условием типа торможения в явном аналитическом виде. Будет изучен критический случай, когда наклонная производная в граничном условии по модулю равна единице. Будет решена задача управления с условием второго рода. Будет рассмотрен случай, когда сама функция граничного управления содержит наклонную производную. Будут найдены необходимые и достаточные условия корректности задачи управления колебательным процессом струны при времени меньше критического. Будут рассмотрены аналогичные вопросы для телеграфного уравнения. Все полученные результаты планируется опубликовать в виде статей в научных журналах.

В некоторых перечисленных ниже работах членов коллектива были исследованы вопросы корректной разрешимости задач для уравнений смешанного типа спектральным методом и методом интегральных уравнений. Были изучены расположение спектра, полнота и базисность корневых функций задачи с наклонной производной с переменным углом наклона в круге; расположение спектра некоторых других задач с наклонной производной. Все полученные коллективом в этом направлении результаты являются новыми и оригинальными Моисеев Е.И., Моисеев Т.Е., Вафадорова Г.О. Об интегральном представлении задачи Неймана-Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51. № 8. С. 1070-1075. Моисеев Е.И., Лихоманенко Т.Н. О базисности одной тригонометрической системы, возникающей в задаче Франкля // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49. № 3. С. 325-331. Полосин А.А. О расположении спектра и отсутствии свойства базисности у системы корневых функций задачи с наклонной производной с переменным углом наклона // Дифференциальные уравнения. — 2011. — Т. 47, № 10. — С. 1466–1473. Моисеев Т.Е. О Неединственности решения задачи Трикоми с обобщенным условием склеивания Франкля // Дифференциальные уравнения. — 2014. — Т. 50, № 10. — С. 1386–1391. В цикле работ 2012-2015 годов были разработаны методы построения аналогов известных классических задач для уравнений смешанного типа. Особое внимание было уделено корректности постановки задач. Решения были построены явно в виде биортогональных рядов, изучены вопросы их сходимости и попутно доказаны оценки для специальных функций: Moiseev E.I., Nefedov P.V. Gellerstedt problem for the Lavrent'ev–Bitsadze equation in a 3D-domain // Integral Transforms and Special Functions. 2014. Volume 25. Issue 7, pages 509-512. Моисеев Е.И., Нефедов П.В., Холомеева А.А. Аналог задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в трехмерных областях // Дифференциальные уравнения. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 815–817

Была рассмотрена спектральная задача для оператора Лапласа в круге со спектральным параметром и комплексным физическим параметром граничном условии. Было выписано трансцендентное уравнение, определяющее наличие кратных коней. Изучен вопрос о разрешимости этого уравнения и распределении корней на комплексной плоскости. Рассмотрен вопрос и полноте и минимальности системы собственных функций при наличии кратного корня. Установлена базисность в весовом пространстве L2 всей системы собственных функций задачи, построена биортогонально сопряженная система. Были изучены свойства собственных функций для краевой задачи Геллерстедта. Задача ставится для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в области, которая представляет собой объединение открытого полукруга единичного радиуса в области эллиптичности уравнения и двух треугольников в области гиперболичности уравнения. Заданы однородные граничные условия Дирихле на полуокружности и однородные условия Дирихле на внутренних характеристиках гиперболической части области. На линии изменения типа уравнения заданы условия склеивания решения по Франклю. Была построена в явном виде система собственных функций поставленной задачи с использованием функций Бесселя. Доказаны теоремы о базисности Рисса построенной системы собственных функций в пространстве L2. Изучались задачи граничного управления с условием второго рода, то есть когда граничное управление осуществляется силой, при этом в граничном условии присутствует наклонная производная, направление которой не совпадает с характеристиками. Было проведено исследование соответствующей начально-краевой задачи в случае, когда время рассмотрения колебаний системы меньше критического. Была доказана теорема о необходимых и достаточных условиях на функции начальных условий, при которых система будет управляемой. Сама функция управления также была предъявлена в явном аналитическом виде. Для исследования смешанной краевой задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе спектральным методом было проведено изучения свойств полноты системы синусов и косинусов с нецелочисленными параметрами в пространстве интегрируемых по Лебегу функций. Были доказаны теоремы об условиях на параметры, при которых системы будут полными. Аналогичные результаты были получены в случае возмущенной системы синусов и косинусов. Было продолжено изучение неклассических сингулярных интегральных уравнений, играющих важную роль в различных вопросах, в частности, в вопросе разрешимости задачи с отходом от характеристики для уравнений смешанного типа. Для сингулярного интегрального уравнения с некарлемановским сдвигом изучена разрешимость в других, более широких или более узких по сравнению с изученным ранее первоначальным вариантом, функциональных классах, представляющих собой весовые классы Гельдера. Доказано, что в более широком классе, возникающем при ослаблении требований на параметры, у однородного уравнения возникают дополнительные линейно независимые решения, а в более узком классе, возникающем при, соответственно, усилении требований на параметры, однородное уравнение становится неразрешимым, а неоднородное уравнение будет разрешимо при соблюдении дополнительных условий – условий ортогональности. Как и в первоначальном случае, показано, что разрешимость задачи зависит от расположения корней трансцендентной аналитической функции. Детально изучен вопрос о расположении корней этой функции. Для нахождения этого значения построена область специального вида. Показано, что количество корней связано с приращением аргумента этой функции при обходе границы области в положительном направлении и с количеством точек пересечения графика функции с лучом, лежащим в комплексной плоскости. Найдена точная формула, выражающая количество корней через параметры исходного уравнения. Кроме того, изучен вопрос о разрешимости сингулярного интегрального уравнения с некарлемановским сдвигом в случае, когда сингулярная часть представляет собой конечную сумму сингулярных интегральных операторов, в специальном весовом пространстве Гельдера. Указаны требования, которым должны удовлетворять весовые показатели и сдвиги операторов, входящих в сумму. По аналогии со случаем, когда рассматривался единственный сингулярный интегральный оператор, исходное уравнение сведено к задаче сопряжения с осциллирующим коэффициентом. Этот коэффициент детально изучен: показано, что, как и в первоначальном случае, соответствующий сингулярный интеграл от логарифма этого коэффициента равномерно ограничен; найдено асимптотическое поведение его нулей и полюсов и на основании этих результатов доказано, что, как и в первоначальном случае, коэффициент допускает факторизацию, т.е. представление в виде отношения двух не имеющих особенностей функций, одна из которых является аналитической в верхней, а другая – в нижней полуплоскости. На основе этого доказана теорема об однозначной разрешимости уравнения, при этом главный член обращающего оператора найден в явном виде. Было начато изучение краевых задач со смешанными краевыми условиями, содержащими условие на наклонную производную, для уравнений эллиптического и смешанного типов с параметром. С помощью применения разложений по надлежащей системе функций установлено, что подобные задачи для уравнения эллиптического типа – уравнения Гельмгольца – могут быть сведены к одномерному уравнению на граничную функцию. Далее, с помощью полученных ранее асимптотических формул для бесселевых функций с равномерной оценкой погрешности и изученных свойств коммутатора оператора дифференцирования и сингулярного оператора, отвечающего за разложение искомой функции, показано, что это уравнение, в свою очередь, может быть сведено к особому интегральному уравнению с переменными коэффициентами, описывающему поведение искомой функции в окрестности угловой точки. Показано, что это уравнение может быть решено в квадратурах, что позволяет выписать в явном виде главный член асимптотического разложения решения по параметру. В настоящее время изучается родственная задача для уравнения смешанного типа с параметром. Разложение решения, естественным образом возникающее в этой задаче, оказывается, в отличие от предыдущего случая, неортогональным, однако известно, что соответствующая система функций образует базис в пространстве Лебега и для нее в явном виде может быть выписана биортогональная система; кроме того, разложение по этой функциональной системе равномерно сходится в пространстве Гельдера. Это позволяет изучить свойства соответствующего коммутатора и возникающего в связи с этим сингулярного интегрального уравнения на граничную функцию.