ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
|
ИПМех РАН |
||
Аннотация: Проект посвящен: - изучению важных вопросов геометрической теории приближений и их приложений к вопросам взаимосвязи геометрической теории приближений и вопросов существования, устойчивости и единственности в задачах нелинейного анализа; - исследованию структурных свойств чебышевских множеств и солнц; - исследованию колмогоровских и информационных колмогоровских поперечников, приложениям к уравнениям математической физики; - вычислению поперечников множеств, являющихся пересечением классов функций; - получению теорем вложения; - приложениям к теории обучения; - исследованию геометрических вопросов нелинейного анализа и теории функций; - вопросам аппроксимации при помощи жадных алгоритмов. Помимо фундаментальной значимости полученные результаты будут иметь приложения в вычислительной математике, нелинейном анализе и теории обучения. В проекте исследуются следующие задачи. Изучить различные характеристики вложения весовых классов Бесова с сингулярными весами и весовых классов Соболева на бесконечном графе. Рассмотреть различные варианты линейных методов приближения множеств и найти соотношения между ними. Изучить поведение спектральной функции для сингулярных дифференциальных операторов высших порядков. Вычислить регуляризованные следы дифференциальных операторов с произвольными краевыми условиями. Исследовать неравенства Бернштейна--Сёге для тригонометрических полиномов для нахождения точных констант. Разработать геометрические методы для изучения вопроса неединственности и существования решения для уравнения с $p$-лапласианом. Рассмотреть вопросы экстремальной отделимости выпуклых брусьев и интервалов в банаховых пространствах. Применить результаты об экстремальной отделимости выпуклых множеств в задаче о структуре $m$-связных и монотонно линейно связных множеств в пространствах с чебышевской нормой. Определить оптимальное количество непрерывных линейных функционалов специального вида, различающих решения уравнения второго порядка на графах.
Полученные важнейшие результаты: Запланированные на данный заключительный этап задачи полностью выполнены, в ряде задач получены существенные продвижения. Для произвольных пространства $X$ гладкости $\alpha\in (1,2]$, множества $M\subset X$ и равномерно непрерывной функции $f:M\to \mathbb R$ найдется число $k=K(X)>0$ такое, что для любого числа $\varepsilon>0$ найдется функция $\varphi\in K\frac {\omega(f,\varepsilon)}{\varepsilon ^{\alpha}} H^{\alpha}(X)\cap \frac {\omega(f,\varepsilon)} {\varepsilon }\operatorname{Lip}(X)$ такая, что $\|f-\varphi\|_\infty \le 2\omega(f,\varepsilon)$. Изучаются первые краевые задачи для некоторых нелинейных неоднородных дифференциальных уравнений с $q$-лапласианом. Показано, что в качестве неоднородности можно выбирать бесконечно дифференцируемую финитную функцию $f :\Omega\to \mathbb R$ так, чтобы рассматриваемая задача имела два или три решения в классе $W^1_q(\Omega)$. При изучении вопросов геометрической теории приближения показано, что монотонно линейно связное чебышевское множество является солнцем и, более того, что замкнутое монотонно линейно связное множество в линейном нормированном пространстве является $\alpha$-солнцем (а при дополнительном предположении единственности наилучшего приближения - солнцем). Установлено, что замкнутое R-слабо выпуклое множество в пространстве с линейной вкладываемостью шаров ( в частности, в $C(Q)$ и в $l^1(n)$) является монотонно линейно связным. Показано, что пересечение произвольного строгого солнца $M$ в пространстве~$C(Q)$ с произвольным замкнутым промежутком $P \subset C(Q)$ (в частности, с замкнутым шаром и замкнутой гиперполосой) является строгим протосолнцем при естественном условии, что $M \cap int P\ne \emptyset$. Доказано, что такое свойство характеризует замкнутые промежутки в $C(Q)$. Получены точные оценки минимального собственного числа для дифференциальных сингулярных операторов Штурма–Лиувилля на полуоси. Также, для самосопряженного дифференциального оператора $\mathbb{L}$ порядка $2m$ в пространстве $L_2[0,\infty )$ с краевыми условиями $y^{(k_1)}(0)=y^{(k_2)}(0)=y^{(k_3)}(0)=\dots =y^{(k_m)}(0)=0$, где $0\le k_1< k_2< \dots < k_m\le 2m-1$ с ограничением на самосопряженность: $\{k_s\}_{s=1}^{m}\cup \{2m-1-k_s\}_{s=1}^{m}=\{0,1,2,\dots 2m-1\}$, рассматривается его возмущение умножением на действительнозначную измеримую финитную и ограниченную функцию $q(x)$:$\mathbb{P}f(x)=q(x)f(x)$, $f\in L_2[0,\infty )$. Вычислен регуляризованный след оператора $\mathbb{L}+\mathbb{P}$. В задаче о сжатых измерениях показано, что если матрица $\Phi$ обладает свойством ограниченной изометрии (СОИ) порядка $[CK]^{1.2}$ с изометрической константой $\delta =cK^{-0.2}$ и имеет когерентность меньшую, чем $1/(20K ^{0.8})$, то произвольный $K$-разреженный сигнал может быть точно восстановлен по сжатым измерениям $y=\Phi x$ с помощью ортогонального жадного алгоритма (Orthogonal Matching Pursuit) за не более чем $[CK]^{1.2}$ итераций. Из этого результата вытекает, что произвольный $K$-разреженный сигнал может быть восстановлен с помощью жадного алгоритма по $M =O(K^{1.6} \log N)$ измерениям. В течение последних ста лет неравенство Бернштейна обобщалось многими авторами в различных направлениях. В рамках проекта изучалась обобщения неравенства Бернштейна, связанные с неравенствами слабого типа для тригонометрических полиномов. Пусть $\D$ --- оператор дифференцирования. Исследуется действие оператора $\La=\D/n$ на множество тригонометрических полиномов $T_n$: ищется наилучшая константа в неравенстве между мерой множеств $\{x\in\T: |\La t(x)|> 1\}$ и $\{x\in\T: |t(x)|> 1\}$. Получена оценка сверху, являющаяся точной по порядку на множестве равномерно ограниченных тригонометрических полиномов $T_n^C = \left\{t\in T_n: \|t\|\le C\right\}$. Найдены порядки колмогоровских и линейных поперечников весовых классов Соболева на области, удовлетворяющей условию Джона, с весами, имеющими сильную особенность в точке. Установлены порядки убывания колмогоровских поперечников весовых соболевских классов в весовом пространстве $L^q$ и аппроксимативных чисел оператора вложения. Рассмотрен случай, когда веса существенно влияют на скорость убывания поперечников. Найдены порядки убывания линейных поперечников весовых классов Бесова с весами, имеющими сильную особенность в нуле. Получены асимптотические оценки колмогоровских и линейных поперечников весовых классов Бесова с особенностью в точке. Кроме того, найдены оценки колмогоровских и линейных поперечников конечномерных шаров в смешанной норме. Получена оценка числа линейных функционалов специального вида для различения двух решений дифференциального уравнения на графе. Найдена оценка относительных поперечников при некоторых условиях на весовые пространства.
РФФИ | Координатор |
грант РФФИ |
# | Сроки | Название |
1 | 1 января 2010 г.-31 декабря 2010 г. | Геометрическая теория приближений и приложения к теории функций и анализу |
Результаты этапа: | ||
2 | 1 января 2011 г.-31 декабря 2011 г. | Геометрическая теория приближений и приложения к теории функций и анализу |
Результаты этапа: | ||
3 | 1 января 2012 г.-31 декабря 2012 г. | Геометрическая теория приближений и приложения к теории функций и анализу |
Результаты этапа: |
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".