ИСТИНА

Планируется получить результат, который включает в себя естественным образом теорему Фробениуса (1895) о числе решений уравнения x^n=1 в группе, теорему Соломона (1969) о числе решений в группе системы уравнений, в которой уравнений меньше, чем неизвестных, и теорему Ивасаки (1985) о корнях из подгрупп. Планируется извлечь из этого результата новые любопытные следствия о группах и кольцах. В свободной группе, как известно, никакой неединичный коммутатор не является истинной степенью. Мы планируем доказать одну общую теорему, из которой вытекает несколько любопытных фактов, например, следующее усиление упомянутого выше утверждения: если в свободной группе неединичный коммутатор разложить в произведение нескольких сопряжённых между собой элементов, то все эти элементы обязательно окажутся попарно разными.

Our result will contain as special cases the Frobenius theorem (1895) on the number of solutions to the equation xn=1 in a group, the Solomon theorem (1969) on the number of solutions in a group to a system of equations having less equations than unknowns, and the Iwasaki theorem (1985) on roots of subgroups. There will be other curious corollaries on groups and rings. It is well known that a nontrivial commutator in a free group is never a proper power. We shall prove a theorem that generalizes this fact and has several worthwhile corollaries. For example, an equation $[ x_1, y_1] \ldots [ x_k, y_k] = z^n$, where $n \ge 2k$, in a free product $\mathcal{F}$ of groups without nontrivial elements of order $\le n$ implies that $z$ is conjugate to an element of a free factor of $\mathcal{F}$. If a nontrivial commutator in a free group factors into a product of elements which are conjugate to each other then all these elements are distinct.