ИСТИНА

При выполнении проекта будут исследованы краевые задачи для уравнений смешанного типа: трехмерный аналог задачи Геллерстедта для уравнения эллиптико-гиперболического типа, аналог задачи Франкля и задачи со смешанными граничными условиями для уравнения Лаврентьева-Бицадзе, задача Трикоми-Неймана для параболо-гиперболического уравнения с нехарактеристической линией изменения типа. Перечисленные задачи будут решены спектральным методом, методом интегральных представлений, будут решены возникающие попутно спектральные задачи со спектральными параметрами в граничных условиях. Предполагается изучение корректности поставленных задач и получение априорных оценок решений. Будут исследованы задачи граничного управления для гиперболических уравнений и соответствующие им начально-краевые задачи. Исследования будут проводиться как в классическом, так и в обобщенном смыслах. Для некоторых задач будет проведена оптимизация найденного граничного управления. Предполагается развитие теории задач для дифференциальных уравнений на многообразиях с особенностями различных видов (коническими особенностями и особенностями типа клюва) в пространствах с асимптотиками. Будет исследован случай вырождения дифференциального оператора для такого рода задач.

Для спектральной задачи со спектральным параметром в граничном условии, возникающей при решении задачи Трикоми-Неймана для параболо-гиперболического уравнения, будет выписано в виде трансцендентного соотношения на комплексной плоскости условие на коэффициент в граничном условии, при котором в системе корневых функций появляются присоединенные. Для всех возможных значений коэффициента будут рассмотрены вопросы полноты, минимальности и базисности в Lp, p>1 соответствующих систем корневых функций. Будут построены биортогонально сопряженные системы и сформулированы нелокальные задачи без спектрального параметра для выделенных полных и минимальных подсистем. Ожидаются новые результаты, позволяющие теоретически обосновать математическое описание некоторых реальных процессов движения волн (температурных, механических) в средах с внешним воздействием. Будут исследованы вырожденные случаи задач граничного управления колебаниями стержня с динамическим граничным условием типа торможения. Предполагается получить новые теоретические результаты в негильбертровых пространствах, в частности по вопросам гладкости обобщенных решений.

В работах Е.И. Моисеева, В.А. Ильина и его учеников уже рассматривались аналоги известных краевых задач для уравнений смешанного типа, а также различные задачи из теории граничного управления. Ранее в работах Н.Ю. Капустина, Т.Е. Моисеева, А.А. Полосина были исследованы вопросы корректной разрешимости задач для уравнений смешанного типа спектральным методом. Были изучены расположение спектра, полнота и базисность корневых функций задачи с наклонной производной с переменным углом наклона в круге; расположение спектра некоторых других задач с наклонной производной. Все полученные коллективом в этом направлении результаты являются новыми и оригинальными. Разработаны новые методы решения поставленных задач. Для получения точных априорных оценок решений для уравнений смешанного типа предлагается оригинальный подход с использованием теории дифузионных процессов и элементов эргодической теории. Для выяснения корректности постановок задач будет применяться новый метод, основанный на детальном изучении свойств базисности в пространствах Lp ситем корневых функций соответствующей спектральной задачи. Также для изучения вопросов разрешимости будет использоваться оригинальный подход на основе интегрального представления функций биортогонально сопряженной системы.

Получено интегральное представление решения задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева–Бицадзе со смешанными граничными условиями в эллиптической части области и с заданием нуля на одной из характеристик уравнения. Рассмотрена смешанная задача для неоднородного факторизованного гиперболического уравнения второго порядка в четверти плоскости при полунестационарной факторизованной второй производной в граничном условии. Установлены необходимые и достаточные условия существования и единственности классического решения этой смешанной задачи. В аналитическом виде найдено классическое решение неоднородного одномерного волнового уравнения при наличии начальных условий Коши, граничного условия на боковой границе и нелокального интегрального условия. Рассмотрена спектральная задача для простейшего уравнения Штурма-Лиувилля на отрезке с граничным условием второго рода на одном конце и граничным условием третьего рода, содержащим спектральный параметр. Подробно изучены вопросы полноты, минимальности и базисности в Lp, p>1 системы корневых функций задачи. Изучена структура корневого подпространства у спектральной задачи для уравнения Штурма-Лиувилля на отрезке с граничным условием первого рода на одном конце и граничным условием третьего рода на другом конце, содержащим спектральный параметр во второй степени при искомой корневой функции и физический параметр, который может принимать комплексные значения. Выписано трансцендентное условие, при котором появляются кратные корни. Доказана базисность подсистемы системы собственных функций без любых двух удаленных, отвечающих простым собственным значениям в пространствах Lp и C, а также доказана базисность подсистемы системы собственных функций в классе Lp без одной любой удаленной при одном кратном собственном значении. На основании полученных результатов, исследован вопрос о корректности смешанной задачи для уравнения теплопроводности с оператором теплопроводности в граничном условии, в котором время и пространственная переменная поменялись местами. Например, установлено, что в классической постановке эта задача имеет неединственное решение и получено достаточное условие единственности решения. Для задачи управления процессом колебаний тяжелой цепи с грузом на конце рассмотрены соответствующие спектральные задачи для уравнений Бесселя нулевого и первого порядка со спектральным параметром в граничном условии. Исследования проведены по вопросам полноты, минимальности и базисности системы корневых функций как в пространствах Lp и C, так и в гильбертовом пространстве, связанном с мерой Лебега-Стилтьеса. Доказана простота корней характеристического уравнения в случае действительных значений физического параметра в граничном условии. Была исследована разрешимость задачи Неймана-Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в полуполосе. В гиперболической части области на одной из характеристик уравнения задана функция. Эллиптическая часть представляет собой полуполосу, на границе которой заданы нормальные производные равные нулю, а на лини изменения типа уравнения задано условие типа Франкля. Данная задача имеет применение в теории газовой динамике, похожие задачи исследовались А.В.Бицадзе и его учениками. Спектральным методом доказано существование и единственность регулярного решения поставленной задачи. Интегральное представление решения этой задачи было получено в явном аналитическом виде. Единственность решения была доказана с использованием формулы среднего значения, полученной ранее Т.Е.Моисеевым. Изучена смешанная задача для уравнения четвертого порядка и соответствующая ей спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения, описывающая биортогонально сопряженную систему к системе корневых функций для классической задачи со спектральным параметром в граничном условии. Построено классическое решение смешанной задачи в виде билинейного ряда и доказана теорема единственности решения. Установлены свойства базисности системы собственных функций соответствующей спектральной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка без спектрального параметра в граничных условиях в различных функциональных пространствах. Указан алгоритм построения биортогонально сопряженной системы к системе корневых функций для задачи со спектральным параметром в граничных условиях в виде решения спектральной задачи для уравнения более высокого порядка. Разработан метод повторного квантования, с помощью которого исследуются асимптотики уравнений с голоморфными коэффициентами. С помощью этого метода изучены асимптотики однородных дифференциальных уравнений с вырождением типа «клюва» в случае, когда основной символ имеет кратные корни. Случай кратных корней является значительно более сложным и потребовал создания принципиально нового метода. Асимптотики решений уравнений ищутся с помощью преобразования Лапаласа-Бореля. Метод повторного квантования состоит в том, что это преобразование применяется дважды для получения удобного в плане изучения интегро-дифференциального уравнения и нахождения асимптотики. Были изучены аналоги известных задач для уравнения смешанного типа: задачи Геллерстедта с различными неклассическими краевыми условиями. Была решена задача о том, при каком соотношении параметров решение поставленных задач существует, когда оно будет единственным и когда единственность решения нарушается. Были доказаны теоремы, в которых получены результаты,скасающиеся единственности решений при различных соотношениях переметров краевых условий задач. Кроме того, большую ценность представляют найденные интегральные представления решений поставленных задач, в явном аналитическом виде в виде интегралов типа Коши. В некоторых случаях, решения были построены в виде биортогональных рядов.