Асимптотический анализ распределений случайных процессовНИР

Asymptotical analysis of stochastic processes

Источник финансирования НИР

госбюджет, раздел 0110 (для тем по госзаданию)

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2021 г.-31 декабря 2021 г. Асимптотический анализ гауссовских и марковских случайных процессов. Анализ экстремальных статистик и квантовых моделей.
Результаты этапа: 1. Исследовано асимптотическое поведение вероятностей высоких выбросов гауссовских процессов в дискретном времени при уменьшении шага дискретизации. Изучена близость этих асимптотик к соответствующим в непрерывном времени. 2. Найдены асимптотическое поведение и асимптотические разложения распределений супремумов нестационарных гауссовских процессов с гладкими траекториями. Применен модифицированной метод моментов Райса, позволяющий не исследовать вторые моменты числа пересечений. Результаты применены для построения высокоточных доверительных интервалов для проекционных оценок плотностей распределения.
2 1 января 2022 г.-31 декабря 2022 г. Асимптотический анализ гауссовских и марковских случайных процессов. Анализ экстремальных статистик и квантовых моделей.
Результаты этапа: В области анализа экстремальных статистик: Построены асимптотическое разложение и последовательность сопровождающих мер в предельной теореме Гнеденко для максимума случайной последовательности. Построенная последовательность дает степенную скорость сближения, в то время как предельное распределение Гумбеля дает лишь логарифмическую скорость. Предлагается последовательность сопровождающих законов в предельной теореме Б. В. Гнеденко для максимумов независимых случайных величин, распределения которых принадлежат области максимального притяжения распределения Гумбеля. Показано, что эта последовательность дает степенную скорость сближения, в то время как распределение Гумбеля дает лишь логарифмическую скорость. В качестве примеров подробно рассмотрены классы распределений вейбулловского и логвейбулловского типов. Для всей области максимального притяжения Гумбеля предлагается шкала классов распределений, продолжающая эти два класса (Питербарг, Щербакова) В области асимптотического анализа гауссовских случайных процессов: 2. Продолжены исследования в области асимптотического анализа вероятностей высоких выбросов гауссовских случайных процессов. Рассматриваются гауссовские процессы, дисперсия которых достигает своего абсолютного максимума в единственной точке. В максимально общих условиях применимости метода двойных сумм (развитие метода Пикандса) найдена асимптотика вероятности высокого выброса траектории процесса такого вида. Предложен наиболее общий метод исследования асимптотического поведения вероятности высокого выброса траектории гауссовского процесса, дисперсия которого достигает максимума в единственной точке. Показано, что он является наиболее общим из методов этого направления. Этот метод уже применяется для исследования вероятностей высоких выбросов для гауссовских случайных полей (гауссовских функций от нескольких переменных). (Кобельков, Кремена, Питербарг) В области асимптотического анализа марковских случайных процессов и анализа квантовых моделей: Построена новая математическая интерпретация квантовых постулатов. Обосновывается новая математическая интерпретация основных постулатов квантовой теории и ее связь с теорией глобальных аттракторов нелинейных гамильтоновых уравнений в частных производных. А именно, 1. Постулат Н. Бора о переходах к квантовым стационарным состояниям. Множество квантовых стационарных состояний трактуется как глобальный аттрактор квантовой системы. В частности, элементарные частицы трактуются как солитоны нелинейных систем Максвелла-Шредингера и Максвелла-Дирака. Дается обзор результатов о нелинейных гамильтоновых уравнениях в частных производных, полученных в 1990-2022, подтверждающих сходимость к глобальному аттактору в контексте модельных уравнений такого типа. 2. Корпускулярно-волновая двойственность Л. де Бройля. Обоснованы формулы корпускулярно-волновой двойственности де Бройля в случае дифракции электронного пучка, ускоренного в электростатическом поле. 3. Вероятностная интерпретация М. Борна. Обоснована вероятностная интерпретация Борна в случае дифракции электронного пучка на ограниченном отверстии экрана. Эти результаты получены впервые и являются важным продвижением в решении VI проблемы Гильберта – “Аксиоматизация математической физики”. Построен глобальный аттрактор нелинейного двумерного уравнения Шредингера с диссипацией и накачкой. Метод построения основан на построении компактного поглощающего множества. Главная трудность состоит в построении сильного решения. Сначала методом компактности строится слабое решение, и затем доказывается, что оно является также и сильным решением. Для этого развивается стратегия Болла применительно к рассматриваемому уравнению. Важную роль при этом играет теорема единственности Трудингера. Ранее подобные результаты были получены в основном для одномерных уравнений, или же только во всем пространстве. Случай ограниченной области оказался значительно более трудным. Этот результат важен для математической теории лазерного излучения. Рассмотрена задача об устойчивости солитонов системы Маквелла-Лоренца с вращающейся частицей. Вычисляются солитоны этой системы и доказывается их орбитальная устойчивость при достаточно большом эффективном моменте инерции. Доказательство основано на симметрии системы относительно группы вращений и построении структуры Гамильтона-Пуассона. Эта структура строится при помощи вариационных методов Ли-Пуанкаре. Соответствующий структурный оператор оказывается вырожденным, и соответственно, система обладает функциональным семейством инвариантов Казимира. Функция Ляпунова для солитонов строится в виде суммы гамильтониана и подходящего инварианта Казимира (метод “энергии-Казимира”). Ранее орбитальная устойчивость быда доказана для системы Максвелла-Лоренца с движущейся частицей без вращения. Структура Гамильтона-Пуассона для рассматриваемой системы построена впервые. Данная модель важна для изучения эффективной динамики и прецессии спина атома в магнитном поле. Также предложена новая математическая теория параметрического резонанса в лазерном излучении. Доказана приближенная симметрия спектра отображения Пуанкаре относительно единичной окружности. Произведены расчеты мультипликаторов отображения Пуанкаре во втором приближении по константе взаимодействия.
3 1 января 2023 г.-31 декабря 2023 г. Асимптотический анализ гауссовских случайных процессов и полей и интегральных функционалов от них.
Результаты этапа: 1. Доказана предельная теорема о сходимости точечного процесса выходов гауссовской стационарной последовательности к пуассоновскому маркированному процессу на прямой при любых допустимых нормировках. Классическая теорема о сходимости процесса выходов простому пуассоновскому процессу хорошо известна, нами же рассмотрены любые уровни, стремящиеся к бесконечности медленнее, чем в классической теореме. Доказана сходимость по вариации таких точечных процессов к маркированному пуассоновскому процессу. Для доказательства, вместе со стандартной техникой сравнения для гауссовских распределений. применяются результаты Ю. В. Прохорова 1953 года о наилучшем приближении распределения Бернулли смесью гауссовского и пуассоновского распределений. Эта задача поставлена А. Н. Колмогоровым в начале 50-х годов прошлого века. То есть, марки предельного пуассоновского процесса могут быть как пуассоновскими, так и броуновскими процессами. Среди непосредственных применений – более точное исследование предельного поведения классической модели случайной энергии Дерриды и ее обобщения на зависимые слагаемые при неограниченном росте популяции. 2. Дано доказательство устойчивости основано на структуре Гамильтона-Пуассона для системы Максвелла-Лоренца с вращающейся частицей. Данная структура вырождена и допускает инварианты Казимира. Функция Ляпунова строится в виде комбинации гамильтониана с инвариантом Казимира. Эта модель может быть применена для обоснования прецессии магнитного момента солитона в магнитном поле, что является аналогом экспериментально наблюдаемой прецессии квантового спина. Построена гамильтонова структура двумерной системы Максвелла-Лоренца и вычислены солитоны, движущиеся с постоянной скоростью. Основной результат - доказательство асимптотической устойчивости этих солитонов. В качестве функции Ляпунова используется гамильтониан. Данная модель применяется в двумерной квантовой электродинамике. Построена структура Гамильтона-Пуассона для системы Максвелла-Лоренца с вращающейся частицей. Построение основано на вариационном исчислении Ли-Пуанкаре. Эта структура имеет ключевое значение для анализа устойчивости вращающихся солитонов. Эта модель является классическим аналогом квантового спина элементарных частиц. Разработанные математические методы могут быть полезны для применения к квантовым системам. 3. Предложен подход к моделированию цепной полимеризации с использованием случайных графов на основе марковских цепей и процессов. Рассмотренные конструкции являются обобщением методов, разработанных ранее И. Крювеном, на случай нескольких типов мономеров с разной способностью образования связи. Исследуется зависимость образования геля от соотношения мономеров в исходном растворе. Доказан критерий образования геля на основе анализа экстремальных точек. Построенная модель применяется для численного нахождения оптимальных соотношений мономеров определенного вида для ряда конфигураций. Результаты поданы в печать в журнал "Математическое моделирование" ISSN: 0234-0879 4. 4. Ведётся разработка методов топологического анализа взвешенных графов. Работа основана на статье [1] и представляет собой дальнейшее развитие предложенного авторами подхода, в основе которого лежит изучение кривизны Риччи на графе. Разрабатываемые методы позволяют, в частности, решать задачу выявления сообществ (community) в графах. Данная задача является актуальной задачей теории графов, имеющей приложения в информатике, биологии, социологии. Предполагается использование разрабатываемых методов для анализа корреляционных таблиц отделов головного мозга человека. [1] Ni, CC., Lin, YY., Luo, F. et al. Community Detection on Networks with Ricci Flow. Sci Rep 9, 9984 (2019). https://doi.org/10.1038/s41598-019-46380-9
4 1 января 2024 г.-31 декабря 2024 г. Асимптотический анализ гауссовских и марковских случайных процессов. Предельные теоремы для экстремумов случайных процессов и квантовых моделей.
Результаты этапа:
5 1 января 2025 г.-31 декабря 2025 г. Асимптотический анализ гауссовских и марковских случайных процессов.
Результаты этапа:

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".