![]() |
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИПМех РАН |
||
Проект направлен на комплексное решение актуальных практикоориентированных научных проблем, решение которых требует развития математической теории, основанной на методах современного стохастического анализа, вероятностных методов, статистики и анализа больших массивов информации. Одним из главных направлений проекта, реализуемым научной группой МГУ, является построение теории системного риска, угрожающего разрушением финансовой системы в силу сложности её структуры. Это комплексная задача, в которой требуется определить системный риск банковского сектора, выявить его источники и предложить возможные меры для его количественной оценки. В современной практике выделяют более 30 мер системного риска, при этом в российской практике мегарегулятор в лице Центрального Банка России не использует какого-либо единого показателя системного риска. В одной из запланированных работ предлагается классификация различных мер системного риска, методики их расчета и выявления взаимовлияния показателей системного риска и показателей реального сектора. К этой проблематике примыкают вопросы построения динамических мер риска, а также мер приемлемости, с использованием продвинутых математических методов, основанных на теории двойственности для точечно-множественных отображений. Будет развиваться подход к финансовым сетям с использованием методов теории графов. Предполагается углубление теории клиринга финансовых систем в реалистических постановках, а также связанных с ней алгоритмов. Будут решаться задачи в рамках теории арбитража в предположениях несовершенства моделей или их неполной спецификации, в том числе, в присутствии транзакционных издержек, гибридных актуарно-финансовых моделей. Кроме того, планируются исследования по теории криптовалют и блокчейн технологиям. Научной группой ТГУ в проекте предлагается развитие методов стохастического оптимального управления для задач синтеза и анализа оптимальных стратегий для инвесторов, функционирующих на финансовых рынках – сложных динамических системах, моделируемых стохастическими разностными и стохастическими дифференциальными уравнениями. Разработка методов оптимального управления инвестициями, учитывающих операционные издержки, развитие адаптивных эффективных методов идентификации финансовых рынков, дающих быстродействующие робастные алгоритмы обработки информации, направленные на построение оптимальных стратегий в ситуациях ограниченной информации о структуре рынка и постоянно меняющегося рыночного механизма, обусловленного неконтролируемым поведением макроэкономических факторов. В качестве основных примеров рассматриваются модели рынков со стохастической волатильностью, с локальной волатильностью и модели, задаваемые с помощью скачкообразных процессов Леви и полумарковских процессов. Для таких моделей находятся оптимальные стратегии инвестирования и потребления, строятся и анализируются хеджирующие стратегии, учитывающие операционные издержки, а также изучаются задачи разорения для страховых компаний, инвестирующих свои активы в разные модели рынка. Все результаты по построению оптимальных стратегий являются новыми и опираются на оригинальные разработки авторов проекта по аналитическим исследованиям стохастического принципа динамического программирования. Проблематика актуарного анализа страховых компаний жизненного страхования и построения хеджирующих стратегий для азиатских опционов опираются на фундаментальную проблему анализа гладкости плотности интегрального функционала от геометрического броуновского движения, восходящую к классическим работам Йора (1992) и получившую свое развитие в работах Кабанова и Пергаменщикова (2016). В проекте будет развиваться этот подход для проблем хеджирования азиатских опционов на рынках с операционными издержками, а также для актуарного анализа в страховых моделях Спарре Андерсена. Далее, планируется развивать методы оптимального и адаптивного оценивания неизвестных параметров и функций, входящих в модели рынка и, от которых зависят оптимальные стратегии. Развитие методов оценивания (калибровки) для финансовых рынков существенно опирается на результаты авторов по неасимптотическому статистическому оцениванию параметров и функций. Кроме того, в проекте развиваются новые последовательные методы скорейшего обнаружения моментов разладок случайных процессов применительно к финансовым временным рядам. У томского коллектива имеется более чем сорокалетний опыт работы по развитию методов последовательной идентификации динамических систем, описывающихся стохастическими разностными и стохастическими дифференциальными уравнениями. Хорошо известно, что основное преимущество применения последовательных методов заключается в том, что последовательные процедуры оценивания позволяют контролировать неасимптотическое качество оценивания неизвестных функций и параметров и строить оптимальные непараметрические статистические процедуры в адаптивной постановке, т.е. в условиях отсутствия информации о гладкости оцениваемых функций. Это свойство дает возможность в итоге оценить потери при замене неизвестных параметров в оптимальных стратегиях на их оценки. В проекте также предполагается развитие новых адаптивных эффективных методов выбора моделей для оценивания неизвестных функций в моделях финансовых рынков, задаваемых общими скачкообразными процессами Леви, негауссовскими процессами Орнштейна-Уленбека, полумарковскими и диффузионными процессами. Предлагаемые процедуры выбора моделей будут строиться на основе улучшенных оценок наименьших квадратов, которые были предложены Пчелинцевым (2013) для параметрических моделей. Кроме того, на основе развитых в проекте методов будут синтезированы оптимальные алгоритмы анализа современных сложных стохастических экономических систем, обладающих повышенной скоростью обработки информации и применимых в условиях насыщенной априорной неопределенности, что позволит значительно повысить скорость принятия решений инвесторами в практических оптимизационных финансовых задачах. Коммерциализация новых результатов, полученных в ходе выполнения проекта, будет осуществляться в кооперации с бизнес-центрами региона Нормандии (Neoma Business School, Ecole de Management de Normandie). Все результаты проекта будут опубликованы в высокорейтинговых научных изданиях, индексируемых в базах данных "Сеть науки" (Web of Science), "Скопус" (Scopus), РИНЦ и представлены на международных научных мероприятиях
The project is aimed at a comprehensive solution of actual practical scientific problems, the solution of which requires the development of a mathematical theory based on the methods of modern stochastic analysis, probabilistic methods, statistics and analysis of large amounts of information. One of the main directions of the project, implemented by the MSU scientific group, is the construction of a systemic risk theory that threatens the destruction of the financial system due to the complexity of its structure. This is a complex problem in which it is necessary to determine the systemic risk of the banking sector, identify its sources and suggest possible measures for its quantitative assessment. In modern practice, more than 30 measures of systemic risk are distinguished, while in Russian practice the mega-regulator represented by the Bank of Russia does not use any single indicator of systemic risk. In one of the planned works, a classification of various systemic risk measures, methods for calculating them and identifying the mutual influence of systemic risk indicators and real sector indicators is proposed. Adjacent to this issue are the construction of dynamic risk measures, as well as acceptability measures, using advanced mathematical methods based on duality theory for point-multiple mappings. We will develop an approach to financial networks using graph theory methods will be developed. It is supposed to deepen the theory of clearing financial systems in realistic settings, as well as related algorithms. We will solve problems within the framework of the theory of arbitration under the assumptions of imperfection of models or their incomplete specification, including in the presence of transaction costs, hybrid actuarial-financial models. In addition, research is planned on the theory of cryptocurrencies and blockchain technologies. The TSU scientific group in the project proposes the development of stochastic optimal control methods for the synthesis and analysis of optimal strategies for investors operating in financial markets which are the complex dynamic systems modeled by stochastic difference and stochastic differential equations. The development of optimal control methods of investments that take into account transaction costs, the development of adaptive efficient methods for identifying financial markets that provide high-speed robust information processing algorithms aimed at constructing optimal strategies in situations of limited information about the market structure and changing of market mechanism due to uncontrolled behavior of macroeconomic factors. As the main examples we will consider models of markets with stochastic volatility, with local volatility, and models specified by Levy processes and semi-Markov processes. For such models, we will find optimal investment and consumption strategies, construct and analyze hedging strategies that take into account transaction costs, and study ruin problems for insurance companies that invest their assets in different market models. All the results on the construction of optimal strategies are new and are based on the original development of the authors of the project on analytical studies of the stochastic principle of dynamic programming. The problems of the actuarial analysis of life insurance companies and the construction of hedging strategies for Asian options are based on the fundamental problem of analyzing the smoothness of the density of the integral functional of the geometric Brownian motion, which dates back to the classical works of Yor (1992) and was developed in the works of Kabanov and Pergamenchtchikov (2016). In the project we will develop this approach for the problems of hedging Asian options in markets with transaction costs, as well as for actuarial analysis in Sparre Andersen insurance models. Further, we will plan to develop methods for optimal and adaptive estimation of unknown parameters and functions that are part of the market model and on which depend the optimal strategies. The development of estimating (calibration) methods for financial markets relies heavily on the results of authors on non-asymptotic statistical estimation of parameters and functions. In addition, we will develop new sequential methods in the project for the quickest change-point detection of random processes in relation to financial time series. The Tomsk team has more than forty years of experience in developing methods for the sequential identification of dynamical systems described by stochastic difference and stochastic differential equations. It is well known that the main advantage of using sequential methods is that sequential estimation procedures make it possible to control the non-asymptotic quality of estimation of unknown functions and parameters and to construct optimal non-parametric statistical procedures in an adaptive setting, i.e. in the absence of information about the smoothness of the estimated functions. This property makes it possible to ultimately estimate the loss when replacing unknown parameters in optimal strategies on their estimates. In the project, we also assume the development of new adaptive efficient model selection methods for calibration of unknown functions in financial market models defined by general Levy processes, non- Gaussian Ornstein-Uhlenbeck processes, semi-Markov and diffusion processes. The proposed model selection procedures will be based on improved least squares estimates proposed by Pchelintsev (2013) for parametric models. In addition, based on the methods developed in the project, optimal algorithms will be synthesized for analyzing modern complex stochastic economic systems that have an increased information processing speed and are applicable in conditions of saturated a priori uncertainty, which will significantly increase the speed of investor decision-making in practical optimization financial problems. The commercialization of new results obtained during the implementation of the project will be carried out in cooperation with business centers in the Normandy region (Neoma Business School, Ecole de Management de Normandie). All project results will be published in highly rated scientific journals indexed in the databases “Web of Science”, “Scopus” and presented at international scientific events.
Основные исследования проекта направлены на изучение финансовых рынков сложной структуры, модели которых задаются стохастическими разностными и стохастическими дифференциальными уравнениями со случайными коэффициентами. Одним из важных примеров является модель финансового рынка со случайной волатильностью, моделируемой негауссовским скачкообразным процессом Орнштейна-Уленбека, введенным Barndorff-Nielsen and Shephard (2001). Такие модели позволяют учитывать влияние внешних факторов (изменение геополитической ситуации, природные катаклизмы и катастрофы и т.д.) на динамику финансовых активов. Более того, использование в моделировании процессов с разрывными траекториями (например, скачкообразные семимартингальные процессы) позволяет применять данные модели в период кризисных явлений, когда динамика цен рисковых активов допускает импульсный, быстроменяющийся характер поведения. Такое усложнение моделей требует развития нового математического инструментария для построения оптимальных стратегий для инвесторов, функционирующих на таких финансовых рынках. В проекте будут рассмотрены модели, определяемые негауссовскими процессами Орнштейна-Уленбека, полумарковскими и диффузионными процессами. Прежде всего, для таких финансовых рынков в проекте будут разработаны новые эффективные робастные методы статистического анализа их структуры с последующим применением их к проблемам калибровки. В непараметрической постановке проблемы калибровки будут исследоваться на основе адаптивных процедур выбора моделей и их улучшенных версий, разработанных Пчелинцевым (2013) для негауссовских регрессионных моделей. Далее, в рамках последовательного анализа финансовых рынков в проекте будут развиты новые методы скорейшего обнаружения моментов изменения параметров рыночных моделей в классе процедур обнаружения с фиксированными достаточно малыми вероятностями ошибочных решений. В проекте предполагается развивать новые математические методы для исследования решений уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана (HJB), возникающих в принципе стохастического динамического программирования. Это позволит применять метод динамического программирования к задачам стохастического оптимального управления для финансовых рынков, изучаемых в проекте. Далее, предполагается, что в проекте с помощью методов теории восстановления будет исследована проблема разорения страховых компаний, функционирующих в рамках модели Спарре Андерсена и инвестирующих свои активы в финансовые рынки, задаваемые общими скачкообразными процессами Леви. Предполагается развить методику для построения хеджирующих стратегий для азиатских опционов, которые широко используются на финансовых рынках с активами электричества и газа. Как известно, основной проблемой при использовании азиатских опционов на рынках с операционными издержками является построение хеджирующих стратегий, вычисление которых сводится к исследованию гладкости плотности распределения интегралов от геометрического броуновского движения. Для анализа плотности в проекте будет использован метод броуновских мостов, развитый Кабановым и Пергаменщиковым (2016) для анализа распределений интегральных функционалов от геометрических броуновских движений для актуарных задач. В ходе выполнения проекта предполагается получить следующие результаты. - Будут разработаны новые адаптивные статистические процедуры выбора моделей, а также на основе метода Пчелинцева (2013) будут развиты их улучшенные версии для задач непараметрической идентификации финансовых рынков определяемых негауссовcкими процессами Орнштейна - Уленбека, а также для финансовых рынков локальной волатильности. Будет проведен анализ робастной адаптивной эффективности предложенных процедур и разработаны численные алгоритмы для их практической реализации. Кроме того для этих задач будут развиты и проанализированы робастные процедуры выбора моделей для адаптивной калибровки финансовых рынков по наблюдениям в дискретные моменты времени. Будут проведены также численные эксперименты с целью проверки работоспособности предлагаемых методов. - На основе аналитических методов Кабанова и Пергаменщикова (2016) разработанных для анализа интегральных функционалов от геометрического броуновского движения будет проведен актуарный анализ для страховых моделей Спарре Андерсена с инвестициями в финансовые рынки, моделируемые скачкообразными процессами Леви. Будут получены условия на коэффициенты в моделях финансовых рынков, обеспечивающие степенную скорость убывания вероятности разорения как функции начального капитала для страховых компаний. Будут разработаны численные алгоритмы для вычисления вероятности разорения в реальных ситуациях и проведение для него численного моделирования. - На основе подхода Леланда будут синтезированы хеджирующие стратегии для азиатских опционов на финансовых рынках Леви и с учетом операционных издержек. Будет получена предельная теорема для терминальных значений инвестиционных портфелей и будут найдены условия на операционные издержки, при которых будет установлено асимптотическое хеджирование, когда число финансовых операций стремится к бесконечности; будет также проведен асимптотический анализ стоимости опционов и будут найдены условия, при которых не происходит увеличение цены опциона по сравнению с хеджированием в отсутствии издержек; методами численного моделирования Монте - Карло будет проанализирована эмпирическая скорость сходимости хеджирующих стратегий, а также предельные распределения отклонений терминальных значений инвестиционных портфелей от платежных функций - На основе подхода Леланда будут построены стратегии оптимального инвестирования и потребления для финансовых рынков Леви с операционными издержками; будут найдены условия на модели рынка, при которых построенная стратегия сходится к оптимальной при бесконечном увеличении числа операций. Будут разработаны численные алгоритмы для практической реализации построенных стратегий и проведено их численное моделирование с целью практического анализа оптимальности построенных стратегий. - Будут разработаны оптимальные методы наискорейшего обнаружения момента изменения параметров динамики финансовых временных рядов. При этом предполагается решить задачу минимизации запаздывания при фиксированной достаточно малой вероятности ошибки при неизвестных распределениях распределений после разладок как для параметрических, так и для непараметрических моделей рынков. - Будут разработаны детерминированные модели трехстороннего рынка (производство-потребление-медиа), анализ равновесий которой позволит исследовать свойства стационарных состояний моделей рекламной динамики, соответствующих их динамической модификации; на их основе будет произведен синтез стохастических моделей рекламной динамики (таких, как модель Сетхи, стохастический вариант модели Видаля-Вольфа, и модель Блаттберга-Жемена, стохастическая модификация модели Нерлова-Эрроу, основанная на случайном процессе Орнштейна-Уленбека) и моделей динамики трехсторонних рынков (потребление-производство-медиа). - Будет исследовано влияние доходности государственных казначейских облигаций США на доходность взаимных фондов относительно рыночного индекса. В выборке представлены 376 американских фонда за 12 лет наблюдений с 2006 по 2017 по данным из Bloomberg и узкоспециализированной базы CRSP. По итогам исследования предполагается, что доходность государственных облигаций США окажется значимым фактором. Наблюдается также усиление влияния доходности государственных облигаций во времени на «альфу» взаимных фондов, что на практике должно им позволить хеджироваться против риска проигрыша рынку. - Будут получены оптимальные правила торговли портфелем, динамика которого моделируется многомерным процессом Орнштейна-Уленбека, исследована их чувствительность по отношению к параметрам и дана их практическая имплементация с использованием методов машинного обучения. -Развита методология построения интегральных индикаторов состояния системы. Предполагается, что введение возможности учёта индивидуальных ценностей сохранения информации индивидуальных характеристик в интегральном индикаторе позволит получить целый класс линейных свёрток, обладающих рядом преимуществ перед уже существующими. - Hовое направление исследований связано с теорией системного риска, в частности, с проблемой клиринга и алгоритмами вычисления клиринговых векторов. Будет исследована связь этих алгоритмов с алгоритмами вычисления функции Беллмана в общих схемax. Полученные результаты будут применены к задачам оптимизации реальной стохастической системы - инвестиционного портфеля. Это позволит решить принципиально новые актуальные задачи финансовой инженерии в условиях повышенной априорной неопределенности о структуре финансовых рынков. Применение результатов данного исследования к управлению такой сложной стохастической системой, как инвестиционный портфель на нестационарном финансовом рынке, подчеркивает междисциплинарный характер исследования. Результаты проекта могут быть использованы при выработке оптимального способа поведения на финансовых рынках как отдельными инвесторами (физические лица), так и финансовыми и страховыми компаниями, инвестиционными и хеджирующими фондами, а также другими финансовыми юридическими лицами. В проекте представлен достаточно широкий класс моделей, для которых планируется получить оптимальные стратегии с учетом действующих реальных рыночных ограничений: операционные издержки, наличие неизвестных параметров и функций в рыночных моделях, быстро меняющийся (скачкообразный) характер динамики цен в кризисные периоды. Применение оптимальных стратегий позволяет существенно экономить ресурсы и получать максимальную прибыль в рамках действующих моделей. Кроме того, задачи разорения, представленные в проекте, могут быть использованы страховыми компаниями при определении стоимостей страховых полюсов или при определении страховых премий при соответствующем контроле вероятности разорения. Более гибкая стоимостная политика страховых компаний позволит создавать более комфортабельные условия для клиентов, что будет способствовать к их увеличению. Коммерциализация новых результатов, полученных в ходе выполнения проекта, будет осуществляться в кооперации с французскими бизнес-центрами Нормандии (Neoma Business School, Ecole de Management de Normandie). Все полученные результаты в проекте являются новыми, не имеющие мировых аналогов, опережающие и развивающие существующие результаты по статистическим и вероятностным методам обработки информации в динамических системах, задаваемых семимартингальными стохастическими моделями. Основные результаты проекта будут опубликованы в высокорейтинговых международных журналах по теории вероятностей и математической статистике таких как «Bernoulli», «Stochastic processes and their applications», «Statistical Inference for Stochastic Processes», «Sequential Analysis». Кроме того, результаты проекта будут использованы при чтении лекций и выполнении НИР студентами в рамках международной программы магистратуры “Математический анализ и моделирование” (http://master-mam.eu), организованной на базе пяти университетов: Томский государственный университет, Руанский университет (Франция), Неаполитанский университет (Италия), Севильский университет (Испания) и Аугсбурский университет (Германия).
Коллектив имеет большой опыт работы по решению задач неасимптотической адаптивной робастной эффективной идентификации динамических систем, описываемых стохастическими уравнениями. Были развиты новые непараметрические адаптивные робастные методы оценивания, которые дают существенные выигрыши при практическом использовании, улучшая качество и скорость оценивания. Имеется значительный опыт работы по решению задач управления сложными нестационарными динамическими системами со случайными параметрами и структурой, функционирующими при ограничениях на управляющие и управляемые переменные. А также опыт построения динамических моделей инвестиционного портфеля и опыт разработки методов теории стохастического управления для оптимизации структуры инвестиционного портфеля на нестационарных рынках. Разработана методика исследования вероятности разорения страховой компании для весьма общих моделей, которая, как предполагается, позволит получить новые результаты в данной области. Установлена связь между алгоритмами решения задач об оптимальной остановке и алгоритмами нахождения клиринговых векторов в задачах взаимозачёта в сложных финансовых системах. Высокий научный уровень результатов подтверждается тем, что они опубликованы в изданиях, индексируемых в Web of Science и Scopus. По результатам работ за последние 5 лет защищены 5 кандидатских диссертаций и представлена к защите докторская диссертация. Перечень оборудования, материалов, информационных и других ресурсов, имеющихся у научной группы для выполнения проекта (в том числе – описывается необходимость их использования для реализации проекта) Информационная база МГУ и Московской школы экономики.
(a) Теория стохастических дефляторов и новые концепции безарбитражности. Основной подход математических финансов к расчёту стоимости производных ценных бумаг (в иной терминологии, деривативов или опционов) в моделях рынков без трения состоит в вычислении условного математического ожидания терминальной выплаты по (локально) мартингальной мере, определяющей так называемый риск-нейтральный мир, в котором динамика цен активов описывается локальными мартингалами. Концепция мартингальных мер отличала финансовую математику от математической экономики, где базовой концепцией являются цены. Недавнее развитие теории привело к примирению двух дисциплин, показав, что всё-таки достаточно естественно вычислять стоимости деривативов, беря математическое ожидание по исходной (объективной, или исторической) вероятностной мере, но умножая терминальную выплату на значение процесса плотности мартингальной меры. Эта плотность-мультипликатор является своего рода стохастическим дефлятором, преобразующим номинальные цены активов. Такие мультипликаторы, называемые (строго положительными) локально-мартингальными дефляторами, могут существовать в более широком классе случаев, для которых имеются мартингальные меры. Они порождают новые "истинные" цены, позволяющие сравнивать сегодняшнюю стоимость актива с его стоимостью в будущем. В некоторых случаях локально-мартингальные дефляторы оказываются обратными к стоимости портфеля ценных бумаг, так называемого локально-мартингального нумерер-портфеля. Развитие идей, связанных с дефляторами, привело к существенной ревизии теории арбитража. Хорошо известно, что отсутствие бесплатного завтрака с исчезающим риском равносильно одновеременному выполнению двух условий: безарбитражности и безарбитражности первого рода (называемой также ВК-условием или отсутствием неограниченного дохода с ограниченным риском). Оказалось, что уже одно отсутствие арбитража первого рода эквивалентно существованию мартингального дефлятора, хотя при его выполнении локально-мартингальный нумерер может и не существовать. Однa из задач настоящего проекта состоит в написании обзора (2020), охватывающего нынешнее состояние теории с включением новых результатов на базе рабочего документа Ю.М. Кабанова с соавторами а также её распространение на робастные модели, модели с транзакционными издержками и полустатические модели с использованием мартингального транспорта (2020-2021). (b) Множественнозначный анализ и меры риска. Одной из недавно возникших ветвей финaнсовой теории, особенно важной для регуляторов, является теория мер риска, основанная на их двойственном описании. В классической версии мера риска - это выпуклая скалярная функция, заданная на множестве случйных величин (интерпретируемуых, например, как результаты инвестиций) и удовлетворяющая некоторым дополнительным условиям. Цель использования таких функций состоит в характеризации инвестиций, которые приведут к допустимым потерям (например, приемлемым с точки зрения регулятора). В случае, когда случайные позиции - векторные, что случается, в частности, для валютных рынков, когда конвертирование влечёт транзакционные издержки, допустимым являeтся уже не интервал, а некоторое множество в евклидовом пространстве. В связи с этим естественным аналогом скалярных мер риска оказываются меры риска, заданные на случайных векторах и принимающие значения во множествах. Это - математически интересный объект, для которого современное состояние точечно-множественного анализа позволяет получить содержательные результаты. Исследование включает в себя работу над построением двойственного представления для множественнозначных когеррeнтных и выпуклых мер риска с учетом транзакционных издержек, изучение способов задания частичного порядка для задания модели рынка. (c) Современные технологии в финансах (криптовалюты и блокчейн). Тематика включает (1) модели для прогнозирования поведения цен криптоактивов с учетом активности пользователей блокчейн-сети; (2) изучение паттернов поведения участников блокчейн-сети на основе данных о транзакциях, моделей равновесия и оптимального выбора стимулов участников в складывающихся децентрализованных системах (торговые стратегии и правила работы майнеров/нод сети); (3) исследование криптовалют центральных банков, моделей взаиморасчетов в финансовой системе с национальной криптовалютой (CBDC, central bank cryptocurrencies) которые изучаются многими центральными банками мира и вызывают интерес участников финансового рынка, см. https://www.bis.org/cpmi/publ/d174.pdf ( Деан Фантаццини, 2021). (d) Модели стохастической волатильности и их примеенение в финансово-актуарных моделях. Этот класс моделей, наряду с моделями локальной волатильности, является наиболее часто используемым на практике (он, в частности, совместим с реально наблюдаемым эффектом "улыбки волатильности"). Теория Энгельбердта-Шмидта позволяет решить проблему, когда процесс цен является равномерно интегрируемым мартингалом, причём ответ выражается в явном виде. Будет исследована ситуация, охватывающая более общие случаи, когда волатильность может зависеть также и от марковского процесса с дискретным числом состояний моделирующим скачкообразное поведение состояний рынка в духе модели предложенной Ди Мази, Кабановым и Рунггалдьером. (e) Задачa инвестиций и инвестиций с потреблением. Проблема оптимальных инвестиций и потребления в моделях с транзакционными издержками сводится к решению уравнения Беллмана (Гамильтона-Якоби-Беллмана в западной терминологии), которое понимается в вязкостном смысле и которое для общей модели валютного рынка было изучено в работах Кабанова и Клюппельберг (процесс цен - геометрическое броуновское движение) и Де Вальера, Дени (Лепинетта) и Кабанова (процесс цен - геометрический процесс Леви). Исследование оптимальных правил торговли портфелем, динамика которого моделируется многомерным процессом Орнштейна-Уленбека (Д.Л. Муравей). (f) Численные методы в задачах хеджирования на рынках с трением. В недавней работе Лепинетта был развит подход к хеджированию опционов в модели с транзакционными издержками, основанной на использовании ликвидационной функции и новых, предложенных Кабановым и Лепинеттом, понятий существенного супремума и существенного максимума в пространствах с частичным порядком. (f) Финансовая эконометрика. Эконометрическая часть проекта включает тему, по которой уже имеется значительная наработка "Оценка доходности государственных облигаций на результаты деятельности взаимных фондов (на примере США) " и её распространение на другие данные. Исследование посвящено влиянию процентной ставки на доходность взаимных фондов. Описываются различные подходы для оценки эффективности функционирования взаимных фондов и решается вопрос выбора фондов для дальнейшего эконометрического анализа. Используются регрессионные модели, бутстрап методы, различные непараметрические подходы. Значимость результата в том, что если с ростом процентных ставок взаимные фонды чаще обыгрывают рынок, чем при низких ставках, то налицо неэффективность фондового рынка ( А.Н. Курбацкий, А.А. Мироненков, 2020-2021). Курбацкий А.Н. занимается анализом деятельности взаимных фондов, исследованы различные подходы к оценке работы управляющего, также анализируется результативность фондов относительно своего бенчмарка в зависимости от различных микро и макро переменных. Совместно с Беляковым А.О. исследуется влияние увеличения ожидаемой продолжительности жизни на долгосрочный экономический рост.
грант РНФ |
# | Сроки | Название |
1 | 1 июня 2020 г.-31 декабря 2020 г. | Этап 1 |
Результаты этапа: | ||
2 | 1 января 2021 г.-30 декабря 2021 г. | Этап 2 |
Результаты этапа: | ||
3 | 1 января 2022 г.-31 декабря 2022 г. | Этап 3 |
Результаты этапа: Кабанов Ю.М. Рассмотрены и решены следующие задачи в ранее неизученных ситуациях: 1. Найдена асимптотика вероятности разорения в модели Лундберга с двусторонними экспоненциальными распределениями скачков процесса P при инвестициях в рисковый актив с ценой, заданной геометрическим броуновским движением co сносом a и волатильностью sigma , т.е. когда R=at+sigma w_t. Показано, что $u^beta F(u)\to C>0 при u , в случае, когда параметр “beta”:=2a/sigma^2-1>0. В противном случае, разорение происходит с вероятностью единица. Таким образом, формально результат тот же, что и в случае моделей с односторонними скачками. Его доказательство состоит из ряда этапов: устанавливается, что функция F достаточно гладкая, с помощью формулы Ито выводится для неё интегро-дифференциальное уравнение второго, имеющее два интегральных члена - в отличие от задач с односторонними скачками. Последнее обстоятельство требует не однократного, а двукратного дифференцирования ИДУ, в силы чего полученное уравнение имеет более высокий порядок и его асимптотический анализ составляет главную трудность. Тем, не менее, её удалось преодолеть и, наконец, выделить из фундаментального решения то, которое и определяет асимптотику вероятности разорения. 2. Найдена асимптотика вероятности разорения в модели Спарре Андерсена с инвестициями. Как и в классическом модели Спарре Андерсена (1957), процесс P - обобщённый процесс восстановления со сносом, т.е. процесс, интервалы между скачками которого - незавиcимые одинаково распределённые случайные величины. Процесс R - произвольный процесс Леви со скачками, превосходящими -1 (это условие обеспечивает положительность цены рискового актива). Изучена версия с отрицательными скачками P (страхованиe не жизни ). Основной результат состоит в том, что при весьма слабых предположаниях на распределение интервалов в процессе восстановления частичные пределы функции u^beta F(u), когда u стремится к бесконечности, лежат в интервале [C_1,C_2], где 0<C_1 <C_2, а параметр “beta” является положительным корнем куммулянтной функции H цены рискового актива. Этот результат получен применением неявной теории восстановления. 3. До настоящего времени теория не располагала результатами о точной асимптотике вероятности разорения в ситуациях, в которых R не был бы процессом Леви. В тоже время, в финансовой математике такого рода модели цен рассматриваются и применяются на практике. Таковыми являются модели цен со случайной волатильностью. В только что завершённой работе решена задача об асимптотическом поведении вероятности разорения решена для модели Лундберга--Крамера с инвестициями, когда снос и волатильность процесса цены имеют вид а_{v_t} и sigma_{v_t}, где v=(v_t) -- так называемый телеграфный сигнал, т.е. марковский процесс с двумя состояниями 0 и 1 (такие процессы используются для моделирования экономических циклов). В этом случае вероятность разорения убывает также как степенная функция с показателем, являющимся решением алгебраического уравнения и расположенным в интервале между значениями параметрoв бета_0 и бета_1, определяемыми как и выше для моделей с коэффициентами сноса а_0 и а_1 и коэффициентами волатильности сигма_0 и сигма_1. Естественное обобщение полученного результата на случай модели, переключение параметров которой осуществляется марковским процессом с конечным числом состояний, остаётся открытой проблемой. 4. Для функционала от обобщённого процесса Орнштейна-Уленбека, частным случаем которого является вероятность разорения, полученo интегро-дифференциальные уравнениe в частных производных, понимаемoе в вязкостнoм смысле. Доказана теорема единственности решения для краевой задачи. 5. Получено явное решение уравнения Беллмана в задаче оптимизации высокочастотного трейдинга для цены, задаваемок геометрическим броуновским движением. 6. Получено новое доказательство критерия существовавия асимптотического арбитража первого рода. 7. Изучена проблема нахождения клирингового вектора и эквитиз в моделях Роджерца-Вераарт и Судзуки-Эльсингера. Д. Л. Муравей 1) Оптимальная торговля портфелем, динамика которого описывается многомерным процессом Орнштейна-Уленбека. Основные результаты, полученные в ходе научной работы: 1. Найдены явные формулы для оптимального управления, в терминах решения матричного уравнения Рикатти. 2. Исследованы случаи, при которых матричное уравнение допускает явное решение. Для всех таких случаев были даны экономические интерпретации. 3. Доказано, что функция цены имеет минимум, если активы некореллированы. Дано экономическое обоснование этого эффекта. 4. Предложен подход анализа чувствительности параметров на основе дифференциальных уравнений. Основное преимущество - возможность эффективного анализа для портфелей больших размерностей. Альтернативные методы, например Монте-Карло, будут намного медленнее чем предложенный в данной работе алгоритм. Результаты изложены в препринте и поданы на рассмотрение для публикации в журнал Quantitative Finance. В данный момент статья находится на рецензии. 2) Квази-аналитические методы расчета цен барьерных опционов в модели CEV и CIR с переменными по времени коэффициентами Данная работа продолжает цикл работ aвторов по применению обобщенного интегрального преобразования в задачах финансовой математики. Суть подхода состоит в конструировании интегрального преобразования специального вида, которое позволяет свести задачу к одномерному дифференциальному уравнению, которое нетрудно решить стандартными методами. Однако, решение зависит от некоторой неизвестной функции для нахождения которой необходимо решить интегральное уравнение Вольтерры второго рода. Алгоритмы, реализованные на основе научных результатов данной работы, имеют скорость в 2-3 раза выше чем решения на основе конечно-разностного моделирования. A. Itkin and D. Muravey «Semi-closed form prices of barrier options in the Hull-White model»— accepted in RISK Magazine P. Carr, A. Itkin and D. Muravey «Semi-closed form prices of barrier options in the time-dependent CEV and CIR models» published in Journal of Derivatives Fall 2020. A. Lipton, A. Itkin, D. Muravey «From the Black-Karasinski to the Verhulst model to accommodate the unconventional fed's policy» submitted to RISK Magazine. A. Itkin, D. Muravey «Semi-analytic pricing of double barrier options with time-dependent barriers and rebates at hit — available at arxiv.org, will be submitted to Mathematical Finance or SIFIN) E. Boguslavskaya, M. Boguslavsky, D. Muravey Trading multiple mean reversion — will be available at arxiv.org Вартанов С.А. Опубликованы две первых части обзора по моделям стохастических процессов в современной теории рынков с рекламой и медиарынков (от моделей, основанных на процессе случайного блуждания и модели Койка с распределенным лагом до блаттберговских моделей, соответствующих процессу Орнштейна-Уленбека. Разработана концепция построения детерминированных моделей трехстороннего рынка моно- и олигополистической структуры, для двух конкретных случаев (двусторонняя монополия и олигополия с горизонтальной дифференциацией товара и контента) проведен анализ множества равновесий Нэша, возникающих в стационарных состояний моделей рекламной динамики, соответствующих равновесиям этой модели, изложенный в препринте. Как показывают полученные результаты, трехсторонние модели даже в наиболее простых предположениях позволяют смоделировать достаточно сложные эффекты межотраслевого влияния медиандустрии и производственных фирм. В частности, на рынках с двойной монополией (единственная медиафирма, единственный производитель) обнаруживает «засорение» рекламой каждой единицы контента, за счет чего цена на него снижается до себестоимости. При этом и монополист-производитель сможет опустить цену на свой товар значительно ниже «обычного» монопольного уровня почти до себестоимости – за счет возрастания спроса на него из-за рекламы. При этом сама реклама обходится ему очень недорого – также за счет определенной терпимости к ней аудитории. При этом за счет низких цен на контент и товары объемы их потребления достаточно высоки, чтобы обеспечить обеим фирмам положительную прибыль. Если же на рынке действуют хотя бы по компании – как медийных, так и производственных – и возникает дифференциация и товара, и контента, то в соответствующей модели существует равновесие с «кооперацией» медиафирм и производителей. Медиафирмы назначают одинаковые цены на рекламу, а каждый производитель покупает рекламу только у одной из них. Таким образом, будучи независимыми компаниями, производители и медиафирмы разбиваются на «пары», фактически формирующие маркетинговые каналы. Начата работа по поиску условий оптимальности для стохастических моделей с бесконечным горизонтом (Беляков А.О.) Курбацкий А.Н. Исследование влияния доходности государственных казначейских облигаций США на доходность взаимных фондов. Полученные результаты указывают на: • неэффективность рынка ценных бумаг и целесообразность активной стратегии управления инвестиционным портфелем взаимных фондов; • влияние макроэкономических условий на эффективность управления фондами помимо влияния структурных факторов; • возможный будущий рост доходностей по 10-летним казначейским облигациям США, что позволит активно управляемым стратегиям более успешно конкурировать с пассивными (индексными), что дает шанс на выживание небольшим управляющим компаниям; • возможность хеджирования риска проигрыша рынку. Последний вывод является ключевым для управляющих взаимными фондами. Достаточно выделить 5% активов портфеля на инвестирование в плечевые ETFs или на приобретение срочных контрактов (фьючерсы или опционы) на облигации. Плечевые ETFs могут дать экспозицию в 200–300% на долгосрочные казначейские облигации, что позволяет в значительной степени застраховать имеющиеся риски, при этом избегая высоких транзакционных издержек от покупки казначейских облигаций напрямую. Фантаццини Д. 1) Обнаружено, что в подвыборке (01.08.2016 - 04.12.2017) хешрейт и модели затрат на производство (CPM) никогда не были значимыми, ни как эндогенные, ни как экзогенные переменные, и окончательная модель представляет собой двумерную VECM (1) для цены биткойна и данных поиска в Google, с объемом транзакции и комиссией за транзакцию в качестве экзогенных переменных, а также анализом причинности. Также обнаружена значимая коинтеграционная взаимосвязь во второй подвыборке (12.11.2017 - 24.02.2020) между ценой биткойна и хешрейтом или его прокси, а данные Google, объем транзакции и комиссия за транзакцию оказались значимыми экзогенными переменными. Модели, использующие хешрейт, показали результаты тестов на спецификацию лучше, чем модели, использующие CPM, а запаздывающее влияние цен на биткойны на хешрейт обычно было более длительным, чем такое же влияние на CPM. В целом, наш анализ показал, что при моделировании его взаимосвязи с ценой биткойна лучше рассматривать непосредственно хешрейт, а не его прокси, представленный моделью стоимости добычи биткойна. Более того, причинно-следственная связь всегда является однонаправленной: от цены биткойна до хешрейта / CPM, с лагами от 1 до 6 недель спустя (в зависимости от спецификации модели): таким образом, эти результаты согласуются с большим количеством литературы в области энергетики. экономика, которая показала, что доход от нефти и газа влияет на покупку буровых установок с задержкой до 3 месяцев, тогда как влияние изменений в количестве буровых установок на доходность нефти и газа ограничено или незначительно. 2) Данные Google Trends по темам «коронавирус» и «пневмония», отфильтрованные с использованием категории «Здоровье», оказались надежными для прогноза количества новых ежедневных случаев и смертей от COVID-19 для большого количества стран. Данные Google могут дополнять эпидемиологические модели в трудные времена, такие как продолжающаяся пандемия COVID-19, когда официальная статистика может быть не полностью надежной и / или публикуется с задержкой. Политики и чиновники здравоохранения могут использовать поиск в Интернете, чтобы проверить, как развивается пандемия, и / или проверить эффект своих политических действий по сдерживанию болезни и изменить их, если эта политика окажется неудовлетворительной. Это особенно важно сейчас, когда несколько стран решили заново открыть свою экономику, так что отслеживание в реальном времени с онлайн-данными является одним из инструментов, которые можно использовать для удержания ситуации под контролем. Мироненков А.А. Проанализирована специфика применения взвешенных главных компонент, предложены направления применения и дальнейшего развития предлагаемого метода. Более полные результаты оформлены в виде статьи и отправлены в журнал из базы Web of Science Core Collection ( список Emerging Sources Citation Index). Б.И. Шигида Анализ поведения вероятностей разорения и других оценок функционирования компании для различных моделей страхования и цен рисковых активов. Рассмотрена следующая модификация предыдущих условий в критическом случае: корень beta = q_2 лежит на границе эффективной области (является её правым концом). Показано, что в таком случае асимптотика зависит от левой производной H в точке q_2 . Если эта производная конечна, то F(u) по-прежнему убывает как u^(- beta). В случае бесконечной производной при дополнительных предположениях асимптотика меняется: F(u) убывает, как u^(- beta) l(u), где l(u) не постоянная медленно меняющаяся функция. Э.Л. Пресман Рассмотрена задача управления запасами. Производителю нужно с постоянной интенсивностью потреблять промежуточный продукт, ценa которого зависит от состояния марковской цепи с непрерывным временем и конечным числом состояний. Kaк организовать склад, чтобы покупать преимущественно по малой цене. За хранение на складе нужно платить пропорциональнo количеству продуктa, имеющегося на складе, затраты на осуществление заказа не зависят от размера заказа, заказ осуществляется мгновенно. Kак организовать работу склада, чтобы минимизировать издержки на хранение и закупку продуктa. Рассмотрен случай дисконтированных издержек. Показано, что оптимальная стратегия закупок носит пороговый характер: для каждого состояния i существует порог ai, что если количество продуктa на складе x меньше ai, то надо разово произвести закупку до уровня этого порога, т.е. в количестве a_i - x, если x= a_i, то вплоть до следующего скачка марковского процесса надо закупать товар с единичной интенсивностью, чтобы запас на складе был равен пороговому значению ai, если x> a_i то проводить закупки не следует вплоть до следующего скачка марковского процесса или момента, когда значение запаса станет равным a_i. Оказалось, что если какие-то из переходных интенсивностей цепи равны нулю, то при некоторых соотношениях между параметрами оптимальное управление может оказаться неединственным. Порог остаётся, но если уровень запаса расположен между нулём и пороговым значением, то любая стратегия закупок, оставляющая уровень запаса внутри этого интервала, является оптимальной. Приводится система дифференциальных уравнение, которой удовлетворяют производные от функций выигрыша, приводится алгоритм построения оптимальных порогов и значений функций выигрыша и критерий отсутствия единственности. | ||
4 | 1 января 2023 г.-30 декабря 2023 г. | Этап 4 |
Результаты этапа: |
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".