ИСТИНА

В рамках проекта будут исследоваться два новых направления в рамках теории интегрируемых гамильтоновых систем. Первым является изучение систем с некомпактными слоями и их бифуркациями в слоении Лиувилля (лагранжевых слоений). Будут изучены аналоги системы Ковалевской в неевклидовом пространстве и их топология слоений Лиувилля. Вторым направлением является изучение и классификация вырожденных особенностей, встречающихся в известных интегрируемых системах механики и математической физики. В нашем проекте с этой точки зрения будут изучены системы Жуковского (аналог случая интегрируемости Эйлера при добавлении гиростата) и Клебша (движение тела в жидкости).

In this project we will study two new areas in the theory of integrable Hamiltonian systems. The first one is study of systems with non-compact fibers and their bifurcations in Liouville foliations (Lagrangian fibrations). We will analyze analogs of Kovalevskaya system in a non-Euclidean space and the topology of their Liouville foliations. The second area studying and classifying degenerate singularities of well-known integrable systems of mechanics and mathematical physics. In this project we will study Zhukovsky system (analog of the Euler integrable case with a hyrostate) and Klebsch system (motion of a bogy in liquid) in the terms of their degenerate singularities.

1. Предполагается изучить топологию слоений Лиувилля для систем типа Ковалевской, возникающих при описании движения в пространстве отрицательной кривизны. А именно, для аналогов системы Ковалевской на алгебре Ли e(2, 1) будут изучены перестройки слоев их слоений Лиувилля, вычислены топологические инварианты указанных слоений. В особенности, ожидается проверить, происходят ли некоторые из таких перестроек без падения ранга отображения момента. Кроме того, ожидается проверить, являются ли полными потоки гамильтоновых полей первых интегралов в зависимости от значений первых интегралов и знака параметра пучка скобок Ли-Пуассона. Тем самым, ожидается исследовать важный пример интегрируемой системы, в которой некомпактность слоев и их перестроек возникает по другим (в отличие от исследованных ранее суперинтегрируемых систем типа Бертрана, некомпактной системы Горячева-Чаплыгина или интегрируемых биллиардов на неограниченных плоских столах) причинам. Ожидается получить серию новых «некомпактных» бифуркационных слоев слоения Лиувилля, что может расширить наше понимание свойств таких систем и их связи с разделением переменных. 2. Планируется исследовать вырожденные особенности систем Клебша и Жуковского, проверить их принадлежность к классу параболических особенностей и вычислить их некоторые симплектические инварианты. Тем самым, ожидается проверить, что параболические особенности действительно реализуются в интегрируемых системах механики, и ответить на вопрос о структурной устойчивости особенностей систем Жуковского и Клебша относительно малых интегрируемых возмущений.

В работах А.Т. Фоменко об интегрируемых системах был построен аналог теории Морса для интегрируемых систем и сконструирована серия классифицирующих инвариантов топологии слоений Лиувилля таких систем и их особенностей. В случае двух степеней свободы построены: полный классифицирующий инвариант лиувиллевой эквивалентности систем (т.е. послойной гомеоморфности их слоений) в подходящих зонах энергии (инвариант Фоменко-Цишанга, или меченая молекула). Указанная теория нашла широкое применение для описания свойств известных систем механики, геометрии и математической физики, а также доказательства эквивалентностей между режимами движения, вообще говоря, разных систем. Так, А.Т. Фоменко, его соавторами и учениками был изучен широкий класс интегрируемых систем динамики: системы Эйлера, Лагранжа, Ковалевской, Горячева-Чаплыгина, Жуковского, Клебша, Бобылева-Стеклова, Соколова, классифицированы (в терминах инварианта Фоменко-Цишанга) На основе результатов изучения слоений Лиувилля интегрируемых систем (отметим работы П.Рихтера, Х. Дуллина, М.П. Харламова, П.В. Рябова, С.В. Соколова) удалось составить весьма представительный атлас слоений и особенностей, встретившихся в системах динамики и математической физики. Большинство систем обладают рядом специфичных свойств, связанных, например, с наличием разделения переменных. 2. Аспирантом В.А.Кибкало была изучена топология слоений Лиувилля аналогов классической системы Ковалевской (случая алгебры Ли e(3) ) на алгебрах Ли so(4) и so(3, 1), образующих единый пучок. Для аналога вышеуказанного семейства систем, включающего псевдо-евклидов случай Ковалевской (алгебра Ли e(2, 1) и другие алгебры Ли ее пучка) В.А.Кибкало удалось найти важное условие на компактность и некомпактность совместного уровня первых интегралов.