ИСТИНА

Цели очередного годичного этапа, связь с основной задачей проекта: Общая цель проекта – изучение вопросов изометрических погружений многогранных метрик, в первую очередь, вопросы их существования и единственности полученных или данных многоугольников и многогранников, и поведение различных их геометрических характеристик при изгибаниях. В соответствии с этим в 2011 г. предполагается продолжить изучение алгебраических свойств многочлена для объема октаэдров, искать многочлен для объема многогранников с малым числом вершин в 4-х мерном пространстве, исследовать геометрическую связь между длинами ребер изгибаемой подвески в пространстве Лобачевского, дать метрическую характеристику изгибаемых октаэдров и искать погружения метрических октаэдров Брикара и дать описание изгибаемых октаэдров в пространстве Лобачевского.

A study of algebraic properties of the volume polynomial for octahedra, to search volume polynomials for polyhedra in 4-space with a small number of vertices, investigate geomatric relations between the lengths of edges of flexible suspensions in Lobachevski space, to give some metric characteristics of flexible octshedra and to search the isometric immersions of metrically Bricard's octahedra and to give a description of flexible octahedra in Lobachevskii space.

Предполагается: 1) Доказать, что длины ребер экватора изгибаемой подвески в 3-пространстве Лобачевского удовлетворяют условиям, аналогичным условию в 3-мерном евклидовом пространстве. 2) Получить новое доказательство штахелевского списка изгибаемых октаэдров в пространстве Лобачевского и исследовать его полноту. 3) Изучить глобальные свойства полей вращения в теории бесконечно малых изгибаний с целью получения новых свойств полей бесконечно малых изгибаний поверхностей в целом. 4) Исследовать свойства корней многочлена объема для нежестких октаэдров (ожидается, что корни должны быть кратными). 5) Продолжить исследование реализуемости корней многочленов для брикаровских октаэдров как объемов многогранников с комплексными координатами вершин (ожидается положительный ответ). 6) Исследовать вопрос о существовании многочлена для объема многогранников с малым числом вершин в 4-х мерном пространстве (ожидается положительный ответ). 7) Исследовать наложимость плоских многоугольников с самопересечениями и индекса $\pm 1$ на изометричные им выпуклые многоугольники с сохранением индекса в ходе изгибания (ожидается получение некоторых конкретных достаточных или необходимых условий, так как в общем случае это заведомо невозможно).

Имеющийся у коллектива научный задел по предлагаемому проекту - полученные ранее результаты, разработанные методы: В.А. Александров построил торообразный изгибаемый многогранник [1], показал, что в сферическом пространстве изгибаемый многогранник не обязательно сохраняет свой объём в процессе изгибания [2], нашёл достаточные условия продолжимости бесконечно малого изгибания многогранника в «настоящее» изгибание [3] и изучил изгибаемые многогранник в трёхмерном пространстве Минковского [4]. С.Н. Михалёвым изучена структура изгибаемых подвесок [5] и предложен новый алгоритм изометрической реализации многогранной метрики, дающий возможность найти все многогранники сферического рода с данной натуральной разверткой [6]. И.Х. Сабитовым доказано постоянство объёма изгибаемого многогранника в процессе его изгибания [7], [8] и предложено алгоритмическое решение проблемы изометрической реализации двумерной многогранной метрики в виде многогранника в трехмерном пространстве , пригодное для нахождения неизгибаемых реализаций метрики независимо от рода многогранника [9]. Используя методы проективной геометрии и кинематической теории механизмов Х. Штахель построил изгибаемые октаэдры в трёхмерном пространстве Лобачевского [10] и четырёхмерном евклидовом пространстве [11]. Все упомянутые результаты являются оригинальными, для их получения были развиты новые нетривиальные методы. Как результаты, так и методы получили международное признание. Далее в заявке приводится список из 11 работ российских и австрийских участников проекта.

Аннотация: Основным вкладом в выполнение проекта в 2011 г. является опубликованная в журнале «Успехи математических наук» большая обзорная работа руководителя проекта «Алгебраические методы решения многогранников», в которой изложены методы и результаты предыдущих и текущих исследований участников проекта (причем для ряда результатов приведены не опубликованные ранее или исправленные доказательства) с постановкой нерешенных задач. К одному из следствий появления данной статьи, а также выступлений ее автора на многих конференциях и семинарах с привлечением внимания геометров к нерешенным проблемам этой теории, можно отнести получение А.А. Гайфуллиным доказательства существования унитарного многочлена для объема многогранников в 4-х мерном пространстве, что многими специалистами было признано одним из значительных геометрических результатов прошедшего года (в течениие 15 лет, прошедших после получения руководителем проекта в 1996 г. обобщения формулы Герона-Эйлера, такое продвижение этой формулы было в поле интересов многих российских и зарубежных геометров). Из полученных в 2011 г. новых результатов коллектива упомянем следующие: 1) примерами доказано, что объем и интегральная средняя кривизна нежесткого многогранника в гиперболическом пространстве не являются в общем случае стационарными при его бесконечно малом изгибании; 2) доказано, что на ребра экватора изгибаемых подвесок в гиперболическом пространстве распространяется известное в евклидовом случае необходимое свойство Коннелли-Михалева о существании нулевой алгебраической суммы их длин; 3) показано, что для пирамид (т.е. многогранников, у которых есть вершина, соединенная ребрами со всеми остальными вершинами) в пространстве любой размерности есть унитарный многочлен объема; 4) такое же утверждение о существовании унитарного многочлена для объема верно и для т.н. кросс-политопов, являющихся обобщением октаэдров в многомерном пространстве; 5) для октаэдров Брикара 3-го типа к установленным ранее равенствам нулю коэффициентов при V^7 и V^6 многочлена объема добавлены новые алгебраические соотношения между остальными пятью коэффициентами многочлена; 6) для многомерных подвесок в евклидовом пространстве любой размерности доказано существование многочлена для объема со старшим коэффициентом, являющимся в общем случае некоторым не равным тождественно нулю многочленом от квадратов длин ребер подвески; 7) изучены глобальные свойства полей вращений в теории бесконечно малых (б.м.) изгибаний с использованием их для получения новых простых доказательств ранее известных свойств б.м. изгибаний и новых свойств полей б.м. изгибаний для поверхностей “в целом”. 8) получены также некоторые не запланированные, но относящиеся к тематике проекта результаты, о которых более подробно сказано в развернутом научном отчете. В работах наших австрийских коллег больше внимания уделено кинематической теории каркасов (или линейным вложениям и погружениям графов) и их приложениям в робототехнике.