|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИПМех РАН |
||
Алгебраические группы, сферические многообразия и эквивариантная пуассонова геометрияНИР
Algebraic groups, spherical varieties, and equivariant Poisson geometry
- Руководитель НИР: Винберг Э.Б.
- Участники НИР: Авдеев Р.С., Гаража А.А., Горницкий А.А., Панюшев Д.И., Петухов А.В., Стырт О.Г., Тимашёв Д.А.
- Подразделение: Механико-математический факультет
- Срок исполнения: 1 января 2016 г. - 31 декабря 2018 г.
- Номер договора (контракта, соглашения): 16-01-00818
- Номер ЦИТИС: АААА-А16-116021510178-3
- Тип: Фундаментальная
- Приоритетное направление научных исследований: Алгебра, теория чисел и математическая логика
-
Рубрики ГРНТИ:
- 27.17.33 Алгебраическая геометрия
- 27.17.35 Группы Ли
-
Ключевые слова:
ограниченный модуль, гамильтоново действие, многообразие флагов, алгебра ли, линейное представление, факторпространство, алгебраическая группа, сферическое многообразие, пуассоново многообразие, редуктивная группа, инварианты жордана–кронекера
algebraic group, quotient space, lie algebra, linear representation, jordan-kronecker invariants, bounded module, reductive group, poisson manifold, hamiltonian action, spherical variety, flag variety -
Описание:
Проект направлен на исследование полупростых и редуктивных алгебраических групп, их действий и линейных представлений с использованием методов алгебраической и симплектической геометрии. Будут исследоваться сферические многообразия и однородные пространства, в частности, вопросы классификации и теории пересечений. Планируется классификация сферических действий на обобщённых многообразиях флагов с приложениями к теории ограниченных бесконечномерных представлений редуктивных пар алгебр Ли. Будет построена теория Галуа для кокасательных расслоений сферических однородных пространств, и изучены гамильтоновы действия редуктивных групп на симплектических многообразиях с инвариантными коизотропными подмногообразиями. Планируется вычисление инвариантов Жордана–Кронекера бигамильтоновых структур, задаваемых парами элементов в полупростых алгебрах Ли. Будет исследована структура канонических базисов в конечномерных представлениях старшего веса полупростых алгебр Ли. Планируется классификация компактных линейных групп, для которых факторпространство гомеоморфно клетке. Будут вычислены когомологии Галуа редуктивных групп над полем действительных чисел.
-
Планируемые результаты:
Ожидается получение комбинаторной классификации аффинных сферических многообразий с фиксированной полугруппой старших весов: доказательство теорем существования и единственности для аффинных сферических многообразий с заданным набором комбинаторных данных. Будет получена полная классификация сферических действий редуктивных подгрупп K<G простых алгебраических групп на всех полных однородных пространствах G/P. Будут вычислены комбинаторные инварианты (решѐтка весов, сферические корни и краски) сферического однородного пространства G/H, где сферическая подгруппа H<G задана своим правильным вложением в некоторую параболическую подгруппу P<G. Планируется дать прямое доказательство корректности алгоритмов преобразования данных, задающих разрешимые сферические подгруппы в разных классификациях, а также новые концептуальные доказательства ряда утверждений про структуру разрешимых сферических подгрупп, которые ранее были доказаны перебором. Ожидается явное описание колец Альфана некоторых классов сферических однородных пространств, прежде всего групповых многообразий и симметрических пространств. Будет получено описание групп эквивариантных симплектических бирациональных автоморфизмов кокасательных расслоений орисферических однородных пространств, а также конечных подгрупп в этих группах, среди которых будут выделены те, факторизация по которым приводит к кокасательному расслоению сферического однородного пространства. Тем самым будет построена иерархия эквивариантных симплектических рациональных накрытий кокасательных расслоений к сферическим однородным пространствам, т.е. их «теория Галуа». Ожидается доказательство равноразмерности факторизованного отображения моментов для гамильтонова действия редуктивной группы на симплектическом алгебраическом многообразии, содержащем инвариантное лагранжево подмногообразие. Также ожидается доказательство инвариантности размерности стабилизатора общего положения при вырождении некоторых классов гамильтоновых многообразий в нормальное расслоение к инвариантному коизотропному подмногообразию. Это позволит вывести короткое концептуальное доказательство гипотезы Элашвили об индексах централизаторов элементов полупростых алгебр Ли. Будут вычислены инварианты Жордана–Кронекера для пар элементов в полупростых алгебрах Ли, один из которых находится в общем положении. Ожидается получение полной классификации ограниченных (g,k)-модулей в случае g=sl(n). Будет получен полный список всех простых алгебр Ли, для которых верны гипотезы Винберга о порождаемости полугруппы существенных сигнатур сигнатурами фундаментальных старших весов и о насыщенности этой полугруппы. Также будут найдены неравенства, задающие указанную полугруппу в этих случаях. Для алгебр Ли типов B_n и D_n ожидается описание множества существенных сигнатур для представлений старших весов, кратных фундаментальным. Будут классифицированы простые компактные линейные группы Ли с факторпространствами, гомеоморфными клетке, и выяснено наличие полиномиальных отображений факторизации в этих случаях. Ожидается вычисление когомологий Галуа произвольных вещественных редуктивных алгебраических групп в терминах диаграмм Каца (аффинных диаграмм Дынкина с числовыми отметками).
-
Научный задел:
Винберг, Тимашев, Авдеев являются специалистами в теории сферических многообразий. Винберг установил связь между свойствами сферичности однородного пространства и коизотропности гамильтонова действия в его кокасательном расслоении, а также построил накрытие Галуа этого расслоения кокасательным расслоением многообразия орисфер на данном однородном пространстве. Тимашев (в соавторстве со Жгуном) применил алгебро-геометрический метод деформации к нормальному конусу подмногообразия в симплектической ситуации для инвариантных лагранжевых и коизотропных подмногообразий гамильтонова симплектического многообразия. Авдеев разработал оригинальную комбинаторно-лиевскую технику для классификации разрешимых сферических подгрупп. Также им в соавторстве с Петуховым получена полная классификация сферических действий редуктивных групп на классических многообразиях флагов. Петуховым исследована связь между сферическими действиями на обобщённых многообразиях флагов и ограниченными модулями. Связующим звеном здесь является характеристическое многообразие модуля, являющееся замыканием нильпотентной орбиты. Горницкий получил новый результат о справедливости гипотез Винберга относительно канонических базисов в представлениях алгебры Ли типа G_2. Для исследования канонических базисов им разработаны оригинальные методы на стыке комбинаторики, теории представлений алгебр Ли и целочисленной выпуклой геометрии. Стырт разработал оригинальную технику для изучения факторпространств компактных линейных групп Ли, основанную на сочетании топологических, дифференциально-геометрических, теоретико-представленческих и теоретико-инвариантных методов.
- Добавил в систему: Тимашёв Дмитрий Андреевич
Источник финансирования НИР
| грант РФФИ |
Этапы НИР
| # | Сроки | Название |
| 1 | 1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. | Алгебраические группы, сферические многообразия и эквивариантная пуассонова геометрия |
| Результаты этапа: Перечислены все сферические действия редуктивных подгрупп симплектической группы на многообразиях флагов. Получены соответствующие таким действиям правила ветвления представлений симплектической группы. Найдены группы зквивариантных симплектических бирациональных автоморфизмов кокасательных расслоений орисферических однородных многообразий редуктивных групп. Доказано, что для любого коизотропного гамильтонова действия алгебраической группы G на симплектическом аффинном многообразии M всякая G-инвариантная гамильтонова система на M вполне интегрируема в классе полиномиальных интегралов Нетер. Найдены инварианты Жордана–Кронекера для произвольной пары элементов алгебры Ли sl(n), один из которых находится в общем положении. Для алгебры Ли D_4 доказаны гипотезы Винберга о полугруппе существенных сигнатур и найдены неравенства, задающие эту полугруппу. Доказано, что для алгебр Ли D_n при n>4 гипотеза Винберга о порождающих этой полугруппы неверна. Получено некоторое условие, эквивалентное порожденности полугруппы существенных сигнатур существенными сигнатурами фундаментальных представлений (одна из гипотез Винберга). С его помощью единообразно доказаны гипотезы Винберга во всех известных случаях. Получено комбинаторное описание всех неприводимых компонент пространства модулей сферических аффинных многообразий с фиксированной полугруппой старших весов и, в частности, доказана неприводимость пространства модулей в случае, когда эта полугруппа насыщенная. Показано, что пространство модулей неприводимо и гладко в том случае, когда среди всех аффинных сферических многообразий с данной полугруппой старших весов имеется факториальное многообразие. Получено описание категорий конечномерных представлений W-алгебр, связанных с минимальными нильпотентными орбитами полупростых алгебр Ли. В частности, эти категории полупросты, если соответствующая диаграмма Дынкина не имеет кратных рёбер. В ином случае эта категория близка к (исследованной в литературе) категории представлений алгебры Хованова. Доказано, что все примитивные идеалы алгебры U(sl_{\infty}(C)) являются интегрируемыми. В частности, отсюда следует, что число таких идеалов счётно и все они являются аннуляторами модулей старшего веса. Вычислены когомологии Галуа связных полупростых вещественных алгебраических групп. Описаны орбиты вещественной полупростой группы Ли на множестве вещественных точек комплексного симметрического пространства, снабжённого согласованной с действием вещественной структурой. Доказано, что найденное ранее О.В. Стыртом достаточное условие того, чтобы факторпространство компактной линейной группы с коммутативной связной компонентой было гомеоморфно клетке, является также и необходимым. Для некоторого класса компактных линейных групп, факторпространство которых гомеоморфно клетке, построено полиномиальное отображение факторизации на векторное пространство. | ||
| 2 | 1 января 2017 г.-31 декабря 2017 г. | Алгебраические группы, сферические многообразия и эквивариантная пуассонова геометрия |
| Результаты этапа: Описаны в комбинаторно-геометрических терминах орбиты группы вещественных точек расщепимой редуктивной алгебраической группы на множестве вещественных точек комплексного сферического однородного пространства. Найдены все тройки (G,H,X), где G — особая простая алгебраическая группа, H — её максимальная редуктивная подгруппа, X — многообразие флагов группы G, для которых естественное действие группы H на X является сферическим. Для каждой такой тройки найдены соответствующие полугруппы ветвления, описывающие правила ветвления на подгруппу H некоторых бесконечных серий неприводимых представлений группы G. Получено описание особых простых алгебр Ли в терминах коротких SL(3)-структур. Найдена подполугруппа свободной двуступенно нильпотентной группы Ли ранга 3, порождённая положительными степенями образующих. Полученный результат интерпретирован в терминах теории вероятностей. Найдена кронекерова часть полной системы функций в биинволюции на алгебре Ли sl(n). Получено полное описание полугруппы существенных сигнатур, построены канонические базисы и доказаны обобщённые гипотезы Винберга для линейных представлений алгебр Ли ортогональных серий. Доказано, что простой (g,K)-модуль простой алгебры Ли g является ограниченным тогда и только тогда, когда нильпотентная коприсоединённая орбита в g*, соответствующая его аннулятору в универсальной обёртывающей алгебре U(g), является коизотропной относительно действия редуктивной подгруппы K. Показано, что коприсоединённое представление локально простых алгебр Ли обладает не более, чем счётным количеством замкнутых в топологии Зарисского множеств, которые к тому же строго упорядочены по включению. Классифицированы линейные отображения векторных пространств со скалярным умножением. Получено необходимое и достаточное условие для того, чтобы факторпространство 3-мерной компактной линейной группы с простой связной компонентой было гомеоморфно клетке. | ||
| 3 | 1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. | Алгебраические группы, сферические многообразия и эквивариантная пуассонова геометрия |
| Результаты этапа: Получена комбинаторная классификация аффинных сферических многообразий с фиксированной полугруппой старших весов. Доказаны теоремы существования и единственности для аффинных сферических многообразий с заданным набором комбинаторных данных. Полностью классифицированы сферические действия редуктивных подгрупп K<G простых алгебраических групп на всех полных однородных пространствах G/P. Вычислены комбинаторные инварианты (решётка весов, сферические корни и краски) для некоторых классов сферических однородных пространств G/H, где сферическая подгруппа H<G задана своим правильным вложением в некоторую параболическую подгруппу P<G. Найдены неравенства, задающие полугруппу существенных сигнатур и мономиальные базисы в неприводимых представлениях алгебр Ли ортогональных серий. Вычислены в терминах диаграмм Каца когомологии Галуа произвольных вещественных редуктивных алгебраических групп. | ||
Прикрепленные к НИР результаты
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".